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【第1篇 高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)
高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)范例
一、集合有關(guān)概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性:
(1) 元素的確定性,
(2) 元素的互異性,
(3) 元素的無序性,
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列舉法與描述法。
? 注意:常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作:n
正整數(shù)集 n_或 n+ 整數(shù)集z 有理數(shù)集q 實數(shù)集r
1) 列舉法:{a,b,c……}
2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{_?r| _-3>;2} ,{_| _-3>;2}
3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) venn圖:
4、集合的分類:
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{_|_2=-5}
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意: 有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a
2.“相等”關(guān)系:a=b (5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即:① 任何一個集合是它本身的子集。a?a
②真子集:如果a?b,且a? b那就說集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)
③如果 a?b, b?c ,那么 a?c
④ 如果a?b 同時 b?a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 并 集 補 集
定 義 由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.記作a b(讀作‘a(chǎn)交b’),即a b={_|_ a,且_ b}.
由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合,叫做a,b的并集.記作:a b(讀作‘a(chǎn)并b’),即a b ={_|_ a,或_ b}).
設(shè)s是一個集合,a是s的一個子集,由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補集(或余集)
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二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念:設(shè)a、b是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合a中的任意一個數(shù)_,在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(_)和它對應(yīng),那么就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個函數(shù).記作: y=f(_),_∈a.其中,_叫做自變量,_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域.
注意:
1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的._的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零,
(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致 (兩點必須同時具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數(shù)圖象知識歸納
(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點p(_,y)的集合c,叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象.c上每一點的坐標(biāo)(_,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_),反過來,以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對_、y為坐標(biāo)的點(_,y),均在c上 .
(2) 畫法
a、 描點法:
b、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4.區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間
(2)無窮區(qū)間
(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
5.映射
一般地,設(shè)a、b是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合a中的任意一個元素_,在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:a b為從集合a到集合b的一個映射。記作f:a→b
6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.
補充:復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
二.函數(shù)的性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))
(1)增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域為i,如果對于定義域i內(nèi)的某個區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量_1,_2,當(dāng)_1
如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值_1,_2,當(dāng)_1f(_2),那么就說f(_)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間d稱為y=f(_)的單調(diào)減區(qū)間.
注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);
(2) 圖象的特點
如果函數(shù)y=f(_)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(a) 定義法:
○1 任取_1,_2∈d,且_1
○2 作差f(_1)-f(_2);
○3 變形(通常是因式分解和配方);
○4 定號(即判斷差f(_1)-f(_2)的正負(fù));
○5 下結(jié)論(指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性).
(b)圖象法(從圖象上看升降)
(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”
注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))
(1)偶函數(shù)
一般地,對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函數(shù).
(2).奇函數(shù)
一般地,對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函數(shù).
(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征
偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.
利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:
○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點對稱;
○2確定f(-_)與f(_)的關(guān)系;
○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-_) = f(_) 或 f(-_)-f(_) = 0,則f(_)是偶函數(shù);若f(-_) =-f(_) 或 f(-_)+f(_) = 0,則f(_)是奇函數(shù).
(2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1來判定;
(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定 .
9、函數(shù)的解析表達(dá)式
(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是要求出它們之間的對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.
(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:
1) 湊配法
2) 待定系數(shù)法
3) 換元法
4) 消參法
10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值
○2 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值
○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最大值f(b);
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b);
【第2篇 2023高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)
第一章 集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念
1.集合的含義
2.集合的中元素的三個特性:
(1)元素的確定性如:世界上的山
(2)元素的互異性如:由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}
(3)元素的無序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意:常用數(shù)集及其記法:_ kb 1.c om
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作:n
正整數(shù)集 :n_或 n+
整數(shù)集: z
有理數(shù)集: q
實數(shù)集: r
1)列舉法:{a,b,c……}
2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合{_?r|_-3>2} ,{_|_-3>2}
3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) venn圖:
4、集合的分類:
(1)有限集 含有有限個元素的集合
(2)無限集 含有無限個元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合 例:{_|_2=-5}
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意: 有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a
2.“相等”關(guān)系:a=b (5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即:① 任何一個集合是它本身的子集。a?a
② 真子集:如果a?b,且a? b那就說集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)
③ 如果 a?b, b?c ,那么 a?c
④ 如果a?b 同時 b?a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
4.子集個數(shù):
有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集,含有2n-1個非空子集,含有2n-1個非空真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 并 集 補 集
定 義 由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.記作a b(讀作‘a(chǎn)交b’),即a b={_|_ a,且_ b}.
由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合,叫做a,b的并集.記作:a b(讀作‘a(chǎn)并b’),即a b ={_|_ a,或_ b}).
設(shè)s是一個集合,a是s的一個子集,由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補集(或余集)
記作 ,即
csa=
韋
恩
圖
示
性
質(zhì) a a=a
a φ=φ
a b=b a
a b a
a b b
a a=a
a φ=a
a b=b a
a b a
a b b
(cua) (cub)
= cu (a b)
(cua) (cub)
= cu(a b)
a (cua)=u
a (cua)= φ.
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念
設(shè)a、b是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合a中的任意一個數(shù)_,在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對應(yīng),那么就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個函數(shù).記作: y=f(_),_∈a.其中,_叫做自變量,_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域.
注意:
1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零,
(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));
②定義域一致 (兩點必須同時具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法
3. 函數(shù)圖象知識歸納
(1)定義:
在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點p(_,y)的集合c,叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象.c上每一點的坐標(biāo)(_,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_),反過來,以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對_、y為坐標(biāo)的點(_,y),均在c上 .
(2) 畫法
1.描點法: 2.圖象變換法:常用變換方法有三種:1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換
4.區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 (2)無窮區(qū)間 (3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
5.映射
一般地,設(shè)a、b是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合a中的任意一個元素_,在集合b中都有確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:a b為從集合a到集合b的一個映射。記作“f(對應(yīng)關(guān)系):a(原象) b(象)”
對于映射f:a→b來說,則應(yīng)滿足:
(1)集合a中的每一個元素,在集合b中都有象,并且象是的;
(2)集合a中不同的元素,在集合b中對應(yīng)的象可以是同一個;
(3)不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。
6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.
補充:復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
二.函數(shù)的性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))
(1)增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域為i,如果對于定義域i內(nèi)的某個區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量_1,_2,當(dāng)_1
如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值_1,_2,當(dāng)_1
注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);
(2) 圖象的特點
如果函數(shù)y=f(_)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(a) 定義法:
(1)任取_1,_2∈d,且_1
(2)作差f(_1)-f(_2);或者做商
(3)變形(通常是因式分解和配方);
(4)定號(即判斷差f(_1)-f(_2)的正負(fù));
(5)下結(jié)論(指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性).
(b)圖象法(從圖象上看升降)
(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”
注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))
(1)偶函數(shù):一般地,對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函數(shù).
(2)奇函數(shù):一般地,對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函數(shù).
(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.
9.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:
○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點對稱;
○2確定f(-_)與f(_)的關(guān)系;
○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-_) = f(_) 或 f(-_)-f(_) = 0,則f(_)是偶函數(shù);若f(-_) =-f(_) 或 f(-_)+f(_) = 0,則f(_)是奇函數(shù).
注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱,(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1來判定; (3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定 .
10、函數(shù)的解析表達(dá)式
(1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是要求出它們之間的對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.
(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法
11.函數(shù)(?。┲?/p>
○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(?。┲?/p>
○2 利用圖象求函數(shù)的(?。┲?/p>
○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的(?。┲担?/p>
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b);
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b);
第三章 基本初等函數(shù)
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算
1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 >1,且 ∈ _.
負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作 。
當(dāng) 是奇數(shù)時, ,當(dāng) 是偶數(shù)時,
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:
,
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義
3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
(1) · ;
(2) ;
(3) .
(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù),其中_是自變量,函數(shù)的定義域為r.
注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.
2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>1 0<1
定義域 r 定義域 r
值域y>0 值域y>0
在r上單調(diào)遞增 在r上單調(diào)遞減
非奇非偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都過定點(0,1) 函數(shù)圖象都過定點(0,1)
注意:利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,則 ; 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) ;
(3)對于指數(shù)函數(shù) ,總有 ;
二、對數(shù)函數(shù)
(一)對數(shù)
1.對數(shù)的概念:
一般地,如果 ,那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù),記作: ( — 底數(shù), — 真數(shù), — 對數(shù)式)
說明:○1 注意底數(shù)的限制 ,且 ;
○2 ;
○3 注意對數(shù)的書寫格式.
兩個重要對數(shù):
○1 常用對數(shù):以10為底的對數(shù) ;
○2 自然對數(shù):以無理數(shù) 為底的對數(shù)的對數(shù) .
指數(shù)式與對數(shù)式的互化
冪值 真數(shù)
= n = b
底數(shù)
指數(shù) 對數(shù)
(二)對數(shù)的運算性質(zhì)
如果 ,且 , , ,那么:
○1 · + ;
○2 - ;
○3 .
注意:換底公式: ( ,且 ; ,且 ; ).
利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論:(1) ;(2) .
(3)、重要的公式 ①、負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù); ②、 , ③、對數(shù)恒等式
(二)對數(shù)函數(shù)
1、對數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù) ,且 叫做對數(shù)函數(shù),其中 是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).
注意:○1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如: , 都不是對數(shù)函數(shù),而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).
○2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制: ,且 .
2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):
a>1 0<1
定義域_>0 定義域_>0
值域為r 值域為r
在r上遞增 在r上遞減
函數(shù)圖象都過定點(1,0) 函數(shù)圖象都過定點(1,0)
(三)冪函數(shù)
1、冪函數(shù)定義:一般地,形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中 為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(1,1);
(2) 時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間 上是增函數(shù).特別地,當(dāng) 時,冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng) 時,冪函數(shù)的圖象上凸;
(3) 時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng) 從右邊趨向原點時,圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸,當(dāng) 趨于 時,圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.
第四章 函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點
1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù) ,把使 成立的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點。
2、函數(shù)零點的意義:函數(shù) 的零點就是方程 實數(shù)根,亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點的橫坐標(biāo)。
即:方程 有實數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點 函數(shù) 有零點.
3、函數(shù)零點的求法:
○1 (代數(shù)法)求方程 的實數(shù)根;
○2 (幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.
4、二次函數(shù)的零點:
二次函數(shù) .
(1)△>0,方程 有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.
(2)△=0,方程 有兩相等實根,二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.
(3)△<0,方程 無實根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點,二次函數(shù)無零點.
5.函數(shù)的模型
【第3篇 2023高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)
高一數(shù)學(xué)集合有關(guān)概念
集合的含義
集合的中元素的三個特性:
元素的確定性如:世界上的山
元素的互異性如:由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}
元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意:常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:n
正整數(shù)集n_或n+整數(shù)集z有理數(shù)集q實數(shù)集r
列舉法:{a,b,c……}
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{_(r|_-3>2},{_|_-3>2}
語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
venn圖:
4、集合的分類:
有限集含有有限個元素的集合
無限集含有無限個元素的集合
空集不含任何元素的集合例:{_|_2=-5}
高一數(shù)學(xué)集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意:有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2.“相等”關(guān)系:a=b(5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設(shè)a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同則兩集合相等”
即:①任何一個集合是它本身的子集。a(a
②真子集:如果a(b,且a(b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)
③如果a(b,b(c,那么a(c
④如果a(b同時b(a那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集
高一數(shù)學(xué)考試命題趨勢
1.函數(shù)知識:基本初等函數(shù)性質(zhì)的考查,以導(dǎo)數(shù)知識為背景的函數(shù)問題;以向量知識為背景的函數(shù)問題;從具體函數(shù)的考查轉(zhuǎn)向抽象函數(shù)考查;從重結(jié)果考查轉(zhuǎn)向重過程考查;從熟悉情景的考查轉(zhuǎn)向新穎情景的考查。
2.向量知識:向量具有數(shù)與形的雙重性,高考中向量試題的命題趨向:考查平面向量的基本概念和運算律;考查平面向量的坐標(biāo)運算;考查平面向量與幾何、三角、代數(shù)等學(xué)科的綜合性問題。
3.不等式知識:突出工具性,淡化獨立性,突出解,是不等式命題的新取向。高考中不等式試題的命題趨向:基本的線性規(guī)劃問題為必考內(nèi)容,不等式的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、二交函數(shù)等結(jié)合起來,考查不等式的性質(zhì)、最值、函數(shù)的單調(diào)性等;證明不等式的試題,多以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識為背景,在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題,綜合性強,能力要求高;解不等式的試題,往往與公式、根式和參數(shù)的討論聯(lián)系在一起??疾閷W(xué)生的等價轉(zhuǎn)化能力和分類討論能力;以當(dāng)前經(jīng)濟、社會生產(chǎn)、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題仍將是高考的熱點,主要考查學(xué)生閱讀理解能力以及分析問題、解決問題的能力。
4.立體幾何知識:2023年已經(jīng)變得簡單,2023年難度依然不大,基本的三視圖的考查難點不大,以及球與幾何體的組合體,涉及切,接的問題,線面垂直、平行位置關(guān)系的考查,已經(jīng)線面角,面面角和幾何體的體積計算等問題,都是重點考查內(nèi)容。
5.解析幾何知識:小題主要涉及圓錐曲線方程,和直線與圓的位置關(guān)系,以及圓錐曲線幾何性質(zhì)的考查,極坐標(biāo)下的解析幾何知識,解答題主要考查直線和圓的知識,直線與圓錐曲線的知識,涉及圓錐曲線方程,直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,定點,定值,范圍的考查,考試的難度降低。
6.導(dǎo)數(shù)知識:導(dǎo)數(shù)的考查還是以理科19題,文科20題的形式給出,從常見函數(shù)入手,導(dǎo)數(shù)工具作用(切線和單調(diào)性)的考查,綜合性強,能力要求高;往往與公式、導(dǎo)數(shù)往往與參數(shù)的討論聯(lián)系在一起,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力,但今年的難點整體偏低。
7.開放型創(chuàng)新題:答案不,或是邏輯推理題,以及解答題中的開放型試題的考查,都是重點,理科13,文科14題。
【第4篇 高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識點總結(jié)
高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識點總結(jié)
數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.
有向線段的三要素:起點、方向、長度.
零向量:長度為的向量.
單位向量:長度等于個單位的向量.
相等向量:長度相等且方向相同的向量
&向量的運算
加法運算
ab+bc=ac,這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個從同一點o出發(fā)的兩個向量oa、ob,以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb,則以o為起點的對角線oc就是向量oa、ob的和,這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿足所有的加法運算定律。
減法運算
與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
數(shù)乘運算
實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,|λa|=|λ||a|,當(dāng)λ >;0時,λa的方向和a的方向相同,當(dāng)λ< 0時,λa的方向和a的方向相反,當(dāng)λ = 0時,λa = 0。
設(shè)λ、μ是實數(shù),那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。
向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作a?b,θ是a與b的夾角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的'數(shù)量積為0。
a?b的幾何意義:數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。
兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。
【第5篇 高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié):冪函數(shù)的性質(zhì)考點
高一數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié):冪函數(shù)的性質(zhì)考點
定義:
形如y=_^a(a為常數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量冪為因變量,指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域:
當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:
如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);
如果a為負(fù)數(shù),則_肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則_不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當(dāng)_為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的值域的不同情況如下:
在_大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。
在_小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。
而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì):
對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則_^(p/q)=q次根號(_的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是r,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時,設(shè)a=-k,則_=1/(_^k),顯然_≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到_所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對于_>;0,則a可以是任意實數(shù);
排除了為0這種可能,即對于_<;0和_>;0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);
排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對于_為大于且等于0的所有實數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:
如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);
【第6篇 高一數(shù)學(xué)必修一:各章知識點總結(jié)
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第一章集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念
1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。
2、集合的中元素的三個特性:
1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無序性
說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素。
(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示:{…}如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意?。撼S脭?shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:n
正整數(shù)集n_或n+整數(shù)集z有理數(shù)集q實數(shù)集r
關(guān)于“屬于”的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就說a屬于集合a記作a∈a,相反,a不屬于集合a記作a?a
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上。
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。
①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式_-3>2的解集是{_?r|_-3>2}或{_|_-3>2}
4、集合的分類:
1.有限集含有有限個元素的集合
2.無限集含有無限個元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例:{_|_2=-5}
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意:有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2.“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設(shè)a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同”
結(jié)論:對于兩個集合a與b,如果集合a的任何一個元素都是集合b的元素,同時,集合b的任何一個元素都是集合a的元素,我們就說集合a等于集合b,即:a=b
①任何一個集合是它本身的子集。aía
②真子集:如果aíb,且a1b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)
③如果aíb,bíc,那么aíc
④如果aíb同時bía那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1.交集的定義:一般地,由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.
記作a∩b(讀作”a交b”),即a∩b={_|_∈a,且_∈b}.
2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合,叫做a,b的并集。記作:a∪b(讀作”a并b”),即a∪b={_|_∈a,或_∈b}.
3、交集與并集的性質(zhì):a∩a=a,a∩φ=φ,a∩b=b∩a,a∪a=a,
a∪φ=a,a∪b=b∪a.
4、全集與補集
(1)補集:設(shè)s是一個集合,a是s的一個子集(即),由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補集(或余集)
記作:csa即csa={_|_?s且_?a}
s
csa
a
(2)全集:如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集。通常用u來表示。
(3)性質(zhì):⑴cu(cua)=a⑵(cua)∩a=φ⑶(cua)∪a=u
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念:設(shè)a、b是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合a中的任意一個數(shù)_,在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對應(yīng),那么就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個函數(shù).記作:y=f(_),_∈a.其中,_叫做自變量,_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(_)|_∈a}叫做函數(shù)的值域.
注意:2如果只給出解析式y(tǒng)=f(_),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合;3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.
定義域補充
能使函數(shù)式有意義的實數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
(又注意:求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)
構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域
再注意:(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))(2)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同;②定義域一致(兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關(guān)例2)
值域補充
(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。
3.函數(shù)圖象知識歸納
(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(_),(_∈a)中的_為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點p(_,y)的集合c,叫做函數(shù)y=f(_),(_∈a)的圖象.
c上每一點的坐標(biāo)(_,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_),反過來,以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對_、y為坐標(biāo)的點(_,y),均在c上.即記為c={p(_,y)|y=f(_),_∈a}
圖象c一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
(2)畫法
a、描點法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出_,y的一些對應(yīng)值并列表,以(_,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點p(_,y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來.
b、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))
常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用:
1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。
4.快去了解區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
5.什么叫做映射
一般地,設(shè)a、b是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合a中的任意一個元素_,在集合b中都有確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:ab為從集合a到集合b的一個映射。記作“f:ab”
給定一個集合a到b的映射,如果a∈a,b∈b.且元素a和元素b對應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
說明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應(yīng),①集合a、b及對應(yīng)法則f是確定的;②對應(yīng)法則有“方向性”,即強調(diào)從集合a到集合b的對應(yīng),它與從b到a的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對于映射f:a→b來說,則應(yīng)滿足:(ⅰ)集合a中的每一個元素,在集合b中都有象,并且象是的;(ⅱ)集合a中不同的元素,在集合b中對應(yīng)的象可以是同一個;(ⅲ)不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。
常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點:
1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);2解析法:必須注明函數(shù)的定義域;3圖象法:描點法作圖要注意:確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;4列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征.
注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法:便于查出函數(shù)值。圖象法:便于量出函數(shù)值
補充一:分段函數(shù)(參見課本p24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù);(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.
補充二:復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u),(u∈m),u=g(_),(_∈a),則y=f[g(_)]=f(_),(_∈a)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
例如:y=2sin_y=2cos(_2+1)
7.函數(shù)單調(diào)性
(1).增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域為i,如果對于定義域i內(nèi)的某個區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量_1,_2,當(dāng)_1
如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值_1,_2,當(dāng)_1
注意:1函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);
2必須是對于區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量_1,_2;當(dāng)_1
(2)圖象的特點
如果函數(shù)y=f(_)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(a)定義法:
1任取_1,_2∈d,且_1
(b)圖象法(從圖象上看升降)_
(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律如下:
函數(shù)
單調(diào)性
u=g(_)
增
增
減
減
y=f(u)
增
減
增
減
y=f[g(_)]
增
減
減
增
注意:1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.2、還記得我們在選修里學(xué)習(xí)簡單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎?
8.函數(shù)的奇偶性
(1)偶函數(shù)
一般地,對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函數(shù).
(2)奇函數(shù)
一般地,對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函數(shù).
注意:1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。
2由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是,對于定義域內(nèi)的任意一個_,則-_也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱).
(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征
偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.
總結(jié):利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱;2確定f(-_)與f(_)的關(guān)系;3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-_)=f(_)或f(-_)-f(_)=0,則f(_)是偶函數(shù);若f(-_)=-f(_)或f(-_)+f(_)=0,則f(_)是奇函數(shù).
注意?。汉瘮?shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱,(1)再根據(jù)定義判定;(2)有時判定f(-_)=±f(_)比較困難,可考慮根據(jù)是否有f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1來判定;(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.
9、函數(shù)的解析表達(dá)式
(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是要求出它們之間的對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.
(2).求函數(shù)的解析式的主要方法有:待定系數(shù)法、換元法、消參法等,如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時,可用待定系數(shù)法;已知復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的表達(dá)式時,可用換元法,這時要注意元的取值范圍;當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時,也可用湊配法;若已知抽象函數(shù)表達(dá)式,則常用解方程組消參的方法求出f(_)
10.函數(shù)(小)值(定義見課本p36頁)
1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(小)值2利用圖象求函數(shù)的(小)值3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的(小)值:如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b);如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b);
第二章基本初等函數(shù)
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算
1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈_.
當(dāng)是奇數(shù)時,正數(shù)的次方根是一個正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).此時,的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(shù)(radicale_ponent),叫做被開方數(shù)(radicand).
當(dāng)是偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時,正數(shù)的正的次方根用符號表示,負(fù)的次方根用符號-表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±(>0).由此可得:負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。
注意:當(dāng)是奇數(shù)時,,當(dāng)是偶數(shù)時,
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義
指出:規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.
3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
(1)?;
(2);
(3).
(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(e_ponential),其中_是自變量,函數(shù)的定義域為r.
注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.
2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>1
0
圖象特征
函數(shù)性質(zhì)
向_、y軸正負(fù)方向無限延伸
函數(shù)的定義域為r
圖象關(guān)于原點和y軸不對稱
非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都在_軸上方
函數(shù)的值域為r+
函數(shù)圖象都過定點(0,1)
自左向右看,
圖象逐漸上升
自左向右看,
圖象逐漸下降
增函數(shù)
減函數(shù)
在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1
在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1
在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1
在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1
圖象上升趨勢是越來越陡
圖象上升趨勢是越來越緩
函數(shù)值開始增長較慢,到了某一值后增長速度極快;
函數(shù)值開始減小極快,到了某一值后減小速度較慢;
注意:利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,則;取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng);
(3)對于指數(shù)函數(shù),總有;
(4)當(dāng)時,若,則;
二、對數(shù)函數(shù)
(一)對數(shù)
1.對數(shù)的概念:一般地,如果,那么數(shù)叫做以為底的對數(shù),記作:(—底數(shù),—真數(shù),—對數(shù)式)
說明:1注意底數(shù)的限制,且;
2;
3注意對數(shù)的書寫格式.
兩個重要對數(shù):
1常用對數(shù):以10為底的對數(shù);
2自然對數(shù):以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù).
對數(shù)式與指數(shù)式的互化
對數(shù)式指數(shù)式
對數(shù)底數(shù)←→冪底數(shù)
對數(shù)←→指數(shù)
真數(shù)←→冪
(二)對數(shù)的運算性質(zhì)
如果,且,,,那么:
1?+;
2-;
3.
注意:換底公式
(,且;,且;).
利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(1);(2).
(二)對數(shù)函數(shù)
1、對數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù),且叫做對數(shù)函數(shù),其中是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).
注意:1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。
如:,都不是對數(shù)函數(shù),而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).
2對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制:,且.
2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):
a>1
0
圖象特征
函數(shù)性質(zhì)
函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)
函數(shù)的定義域為(0,+∞)
圖象關(guān)于原點和y軸不對稱
非奇非偶函數(shù)
向y軸正負(fù)方向無限延伸
函數(shù)的值域為r
函數(shù)圖象都過定點(1,0)
自左向右看,
圖象逐漸上升
自左向右看,
圖象逐漸下降
增函數(shù)
減函數(shù)
第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0
第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0
第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0
第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0
(三)冪函數(shù)
1、冪函數(shù)定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過點(1,1);
(2)時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當(dāng)時,冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時,冪函數(shù)的圖象上凸;
(3)時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.
第三章函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點
1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。
2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即:
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.
3、函數(shù)零點的求法:
求函數(shù)的零點:
1(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;
2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.
4、二次函數(shù)的零點:
二次函數(shù).
1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.
2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.
3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點.
【第7篇 高一數(shù)學(xué)必修一公式總結(jié)
三角函數(shù)公式
兩角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga) ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)
倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a) ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2) sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2) cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))
積化和差 2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)
2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)
2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)
-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)
和差化積 sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2
cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb
tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb
ctga+ctgb=sin(a+b)/sinasinb
-ctga+ctgb=sin(a+b)/sinasin
集合與函數(shù)概念
一,集合有關(guān)概念
1,集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素.
2,集合的中元素的三個特性:
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性
說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素.
(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素.
(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣.
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.3,集合的表示:{ … } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列舉法與描述法.
注意啊:常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作:n
正整數(shù)集 n_或 n+ 整數(shù)集z 有理數(shù)集q 實數(shù)集r
關(guān)于'屬于'的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就說a屬于集合a 記作 a∈a ,相反,a不屬于集合a 記作 a(a
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上.
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法.
①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式_-3]2的解集是{_(r| _-3]2}或{_| _-3]2}
4,集合的分類:
1.有限集 含有有限個元素的集合
2.無限集 含有無限個元素的集合
3.空集 不含任何元素的集合 例:{_|_2=-5}
二,集合間的基本關(guān)系
1.'包含'關(guān)系—子集
注意:有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合.
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2.'相等'關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} '元素相同'
結(jié)論:對于兩個集合a與b,如果集合a的任何一個元素都是集合b的元素,同時,集合b的任何一個元素都是集合a的元素,我們就說集合a等于集合b,即:a=b
① 任何一個集合是它本身的子集.a(a
②真子集:如果a(b,且a( b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)
③如果 a(b, b(c ,那么 a(c
④ 如果a(b 同時 b(a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
三,集合的運算
1.交集的定義:一般地,由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.
記作a∩b(讀作'a交b'),即a∩b={_|_∈a,且_∈b}.
2,并集的定義:一般地,由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合,叫做a,b的并集.記作:a∪b(讀作'a并b'),即a∪b={_|_∈a,或_∈b}.
3,交集與并集的性質(zhì):a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a,a∪a = a,a∪φ= a ,a∪b = b∪a.
4,全集與補集
(1)補集:設(shè)s是一個集合,a是s的一個子集(即),由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補集(或余集)
記作: csa 即 csa ={_ ( _(s且 _(a}
(2)全集:如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集.通常用u來表示.
(3)性質(zhì):⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u
【第8篇 高一數(shù)學(xué)必修一重點知識點總結(jié)
一、集合
一、集合有關(guān)概念
1.集合的含義
2.集合的中元素的三個特性:
(1)元素的確定性如:世界上的山
(2)元素的互異性如:由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}
(3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
?注意:常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:n
正整數(shù)集n_或n+整數(shù)集z有理數(shù)集q實數(shù)集r
1)列舉法:{a,b,c……}
2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{_?r|_-3>2},{_|_-3>2}
3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)venn圖:
4、集合的分類:
(1)有限集含有有限個元素的集合
(2)無限集含有無限個元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:{_|_2=-5}
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意:有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2.“相等”關(guān)系:a=b(5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設(shè)a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同則兩集合相等”
即:①任何一個集合是它本身的子集。a?a
②真子集:如果a?b,且a?b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)
③如果a?b,b?c,那么a?c
④如果a?b同時b?a那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
?有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集
二、函數(shù)
1、函數(shù)定義域、值域求法綜合
2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問題的解題策略
3、恒成立問題的求解策略
4、反函數(shù)的幾種題型及方法
5、二次函數(shù)根的問題——一題多解
&指數(shù)函數(shù)y=a^_
a^a_a^b=a^a+b(a>0,a、b屬于q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b屬于q)
(ab)^a=a^a_b^a(a>0,a、b屬于q)
指數(shù)函數(shù)對稱規(guī)律:
1、函數(shù)y=a^_與y=a^-_關(guān)于y軸對稱
2、函數(shù)y=a^_與y=-a^_關(guān)于_軸對稱
3、函數(shù)y=a^_與y=-a^-_關(guān)于坐標(biāo)原點對稱
&對數(shù)函數(shù)y=loga^_
如果,且,,,那么:
○1·+;
○2-;
○3.
注意:換底公式
(,且;,且;).
冪函數(shù)y=_^a(a屬于r)
1、冪函數(shù)定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(1,1);
(2)時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當(dāng)時,冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時,冪函數(shù)的圖象上凸;
(3)時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.
方程的根與函數(shù)的零點
1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。
2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。
即:方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.
3、函數(shù)零點的求法:
○1(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;
○2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.
4、二次函數(shù)的零點:
二次函數(shù).
(1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.
(2)△=0,方程有兩相等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.
(3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點.
三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量.
數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.
有向線段的三要素:起點、方向、長度.
零向量:長度為的向量.
單位向量:長度等于個單位的向量.
相等向量:長度相等且方向相同的向量
&向量的運算
加法運算
ab+bc=ac,這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個從同一點o出發(fā)的兩個向量oa、ob,以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb,則以o為起點的對角線oc就是向量oa、ob的和,這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿足所有的加法運算定律。
減法運算
與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
數(shù)乘運算
實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,|λa|=|λ||a|,當(dāng)λ>0時,λa的方向和a的方向相同,當(dāng)λ<0時,λa的方向和a的方向相反,當(dāng)λ=0時,λa=0。
設(shè)λ、μ是實數(shù),那么:(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。
向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a、b,那么|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作a?b,θ是a與b的夾角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。
a?b的幾何意義:數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。
兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。
四、三角函數(shù)
1、善于用“1“巧解題
2、三角問題的非三角化解題策略
3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法
4、三角函數(shù)向量綜合題例析
5、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法