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平面向量總結(jié)(四篇)

發(fā)布時間:2023-03-31 11:03:09 查看人數(shù):26

平面向量總結(jié)

【第1篇 平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

鑒于數(shù)學(xué)知識點的重要性,小編為您提供了這篇有關(guān)平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié),希望對同學(xué)們的數(shù)學(xué)有所幫助。

定比分點

定比分點公式(向量p1p=λ向量pp2)

設(shè)p1、p2是直線上的兩點,p是l上不同于p1、p2的任意一點。則存在一個實數(shù) λ,使 向量p1p=λ向量pp2,λ叫做點p分有向線段p1p2所成的比。

若p1(_1,y1),p2(_2,y2),p(_,y),則有

op=(op1+λop2)(1+λ);(定比分點向量公式)

_=(_1+λ_2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標(biāo)公式)

我們把上面的式子叫做有向線段p1p2的定比分點公式

三點共線定理

若oc=λoa +μob ,且λ+μ=1 ,則a、b、c三點共線

三角形重心判斷式

在△abc中,若ga +gb +gc=o,則g為△abc的重心

[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0,則a//b的重要條件是存在唯一實數(shù)λ,使a=λb。

a//b的重要條件是 _y'-_'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[編輯本段]向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 ab=0。

a⊥b的充要條件是 __'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.

設(shè)a=(_,y),b=(_',y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

ab+bc=ac。

a+b=(_+_',y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運算律:

交換律:a+b=b+a;

結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量為0

ab-ac=cb. 即“共同起點,指向被減”

a=(_,y) b=(_',y') 則 a-b=(_-_',y-y').

4、數(shù)乘向量

實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且?λa?=?λ??a?。

當(dāng)λ>;0時,λa與a同方向;

當(dāng)λ<0時,λa與a反方向;

當(dāng)λ=0時,λa=0,方向任意。

當(dāng)a=0時,對于任意實數(shù)λ,都有λa=0。

注:按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

實數(shù)λ叫做向量a的.系數(shù),乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當(dāng)?λ?>;1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>;0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的?λ?倍;

當(dāng)?λ?<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>;0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的?λ?倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律

結(jié)合律:(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

向量對于數(shù)的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

數(shù)對于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

數(shù)乘向量的消去律:① 如果實數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

3、向量的的數(shù)量積

定義:已知兩個非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義:兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點積)是一個數(shù)量,記作ab。若a、b不共線,則ab=abcos〈a,b〉;若a、b共線,則ab=+-?a??b?。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示:ab=__'+yy'。

向量的數(shù)量積的運算律

ab=ba(交換律);

(λa)b=λ(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

(a+b)c=ac+bc(分配律);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

aa=a的平方。

a⊥b 〈=〉ab=0。

ab≤ab。

向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即:(ab)c≠a(bc);例如:(ab)^2≠a^2b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律,即:由 ab=ac (a≠0),推不出 b=c。

3、ab≠ab

4、由 a=b ,推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量積

定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b。若a、b不共線,則a×b的模是:?a×b?=absin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線,則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì):

?a×b?是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注:向量沒有除法,“向量ab/向量cd”是沒有意義的。

向量的三角形不等式

1、??a?-?b??≤?a+b?≤?a?+?b?;

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時,左邊取等號;

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時,右邊取等號。

2、??a?-?b??≤?a-b?≤?a?+?b?。

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時,左邊取等號;

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時,右邊取等號。

這篇有關(guān)平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié),是小編精心為同學(xué)們準(zhǔn)備的,祝大家學(xué)習(xí)愉快!

【第2篇 高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識點總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識點總結(jié)

數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.

有向線段的三要素:起點、方向、長度.

零向量:長度為的向量.

單位向量:長度等于個單位的向量.

相等向量:長度相等且方向相同的向量

&向量的運算

加法運算

ab+bc=ac,這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個從同一點o出發(fā)的兩個向量oa、ob,以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb,則以o為起點的對角線oc就是向量oa、ob的和,這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法滿足所有的加法運算定律。

減法運算

與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

數(shù)乘運算

實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,|λa|=|λ||a|,當(dāng)λ >;0時,λa的方向和a的方向相同,當(dāng)λ< 0時,λa的方向和a的方向相反,當(dāng)λ = 0時,λa = 0。

設(shè)λ、μ是實數(shù),那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。

向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作a?b,θ是a與b的夾角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的'數(shù)量積為0。

a?b的幾何意義:數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。

【第3篇 高二數(shù)學(xué)平面向量知識點總結(jié)

高二數(shù)學(xué)平面向量知識點總結(jié)

平面向量

1.基本概念:

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

2. 加法與減法的代數(shù)運算:

(1)若a=(_1,y1 ),b=(_2,y2 )則a b=(_1+_2,y1+y2 ).

向量加法與減法的幾何表示:平行四邊形法則、三角形法則。

向量加法有如下規(guī)律: + = + (交換律); +( +c)=( + )+c (結(jié)合律);

3.實數(shù)與向量的積:實數(shù) 與向量 的積是一個向量。

(1)| |=| |

(2) 當(dāng) a0時, 與a的方向相同;當(dāng)a0時, 與a的方向相反;當(dāng) a=0時,a=0.

兩個向量共線的充要條件:

(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù) ,使得b= .

(2) 若 =( ),b=( )則 ‖b .

平面向量基本定理:

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ,有且只有一對實數(shù) , ,使得 = e1+ e2.

4.p分有向線段 所成的比:

設(shè)p1、p2是直線 上兩個點,點p是 上不同于p1、p2的任意一點,則存在一個實數(shù) 使 = , 叫做點p分有向線段 所成的比。

當(dāng)點p在線段 上時, 當(dāng)點p在線段 或 的延長線上時,

分點坐標(biāo)公式:若 = ; 的坐標(biāo)分別為( ),( ),( );則 ( -1), 中點坐標(biāo)公式: .

5. 向量的數(shù)量積:

(1).向量的夾角:

已知兩個非零向量 與b,作 = , =b,則aob= ( )叫做向量 與b的夾角。

(2).兩個向量的數(shù)量積:

已知兩個非零向量 與b,它們的夾角為 ,則 b=| ||b|cos .

其中|b|cos 稱為向量b在 方向上的投影.

(3).向量的數(shù)量積的性質(zhì):

若 =( ),b=( )則e = e=| |cos (e為單位向量);

b b=0 ( ,b為非零向量);| |= ;

cos = = .

(4) .向量的`數(shù)量積的運算律:

b=b( )b= ( b)= ( b);( +b)c= c+bc.

6.主要思想與方法:

本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點,以數(shù)代形,以形觀數(shù),用代數(shù)的運算處理幾何問題,特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系,正確運用共線向量和平面向量的基本定理,計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角,判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查,是知識的交匯點。

【第4篇 平面向量的數(shù)量積知識點總結(jié)的內(nèi)容

平面向量的數(shù)量積知識點總結(jié)的內(nèi)容

教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)引入:

1. 向量共線定理? 向量 與非零向量 共線的充要條件是:有且只有一個非零實數(shù)λ,使 =λ .

2.平面向量基本定理:如果 , 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2使 =λ1 +λ2

3.平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與 軸、 軸方向相同的兩個單位向量 、 作為基底.任作一個向量 ,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數(shù) 、 ,使得

把 叫做向量 的(直角)坐標(biāo),記作

4.平面向量的坐標(biāo)運算

若 , ,則? ,? , .

若 , ,則

5. ∥? ( ? )的充要條件是_1y2-_2y1=0

6.線段的定比分點及λ

p1, p2是直線l上的兩點,p是l上不同于p1, p2的任一點,存在實數(shù)λ,

使? =λ ,λ叫做點p分 所成的比,有三種情況:

λ>;0(內(nèi)分) (外分) λ<0 (λ<-1)??? ( 外分)λ<0? (-1<λ<0)

7. 定比分點坐標(biāo)公式:

若點p1(_1,y1) ,p2(_2,y2),λ為實數(shù),且 =λ ,則點p的坐標(biāo)為( ),我們稱λ為點p分 所成的比.

8. 點p的位置與λ的范圍的關(guān)系:

①當(dāng)λ>;0時, 與 同向共線,這時稱點p為 的內(nèi)分點.

②當(dāng)λ<0( )時, 與 反向共線,這時稱點p為 的外分點.

9.線段定比分點坐標(biāo)公式的向量形式:

在平面內(nèi)任取一點o,設(shè) =a, =b,

可得 = .

10.力做的功:w = |f|?|s|cos?,?是f與s的夾角.

二、講解新課:

1.兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量a與b,作 =a, =b,則∠aob=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角.

說明:(1)當(dāng)θ=0時,a與b同向;

(2)當(dāng)θ=π時,a與b反向;

(3)當(dāng)θ= 時,a與b垂直,記a⊥b;

(4)注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點的.范圍0?≤?≤180?

2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是θ,則數(shù)量|a||b|cos?叫a與b的數(shù)量積,記作a?b,即有a?b = |a||b|cos?,

(0≤θ≤π).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.

?探究:兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別

(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),不是向量,符號由cos?的符號所決定.

(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫成a?b;今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b,而a?b是兩個向量的.數(shù)量的積,書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“? ”在向量運算中不是乘號,既不能省略,也不能用“×”代替.

(3)在實數(shù)中,若a?0,且a?b=0,則b=0;但是在數(shù)量積中,若a?0,且a?b=0,不能推出b=0.因為其中cos?有可能為0.

(4)已知實數(shù)a、b、c(b?0),則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c? a = c

如右圖:a?b = |a||b|cos? = |b||oa|,b?c = |b||c|cos? = |b||oa|

? a?b = b?c? 但a ? c

(5)在實數(shù)中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c)

顯然,這是因為左端是與c共線的向量,而右端是與a共線的向量,而一般a與c不共線.

3.“投影”的概念:作圖

定義:|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一個數(shù)量,不是向量;當(dāng)?為銳角時投影為正值;當(dāng)?為鈍角時投影為負(fù)值;當(dāng)?為直角時投影為0;當(dāng)? = 0?時投影為 |b|;當(dāng)? = 180?時投影為 ?|b|.

4.向量的數(shù)量積的幾何意義:

數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.

5.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì):

設(shè)a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量.

1?? e?a = a?e =|a|cos?

2?? a?b ? a?b = 0

3?? 當(dāng)a與b同向時,a?b = |a||b|;當(dāng)a與b反向時,a?b = ?|a||b|. 特別的a?a = |a|2或

4?? cos? =

5?? |a?b| ≤ |a||b|

三、講解范例:

例1 已知|a|=5, |b|=4, a與b的夾角θ=120o,求a?b.

例2 已知|a|=6, |b|=4, a與b的夾角為60o求(a+2b)?(a-3b).

例3 已知|a|=3, |b|=4, 且a與b不共線,k為何值時,向量a+kb與a-kb互相垂直.

例4 判斷正誤,并簡要說明理由.

①a?0=0;②0?a=0;③0- = ;④|a?b|=|a||b|;⑤若a≠0,則對任一非零b有a?b≠0;⑥a?b=0,則a與b中至少有一個為0;⑦對任意向量a,b,с都有(a?b)с=a(b?с);⑧a與b是兩個單位向量,則a2=b2.

解:上述8個命題中只有③⑧正確;

對于①:兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),應(yīng)有0?a=0;對于②:應(yīng)有0?a=0;

對于④:由數(shù)量積定義有|a?b|=|a|?|b|?|cosθ|≤|a||b|,這里θ是a與b的夾角,只有θ=0或θ=π時,才有|a?b|=|a|?|b|;

對于⑤:若非零向量a、b垂直,有a?b=0;

對于⑥:由a?b=0可知a⊥b可以都非零;

對于⑦:若a與с共線,記a=λс.

則a?b=(λс)?b=λ(с?b)=λ(b?с),

∴(a?b)?с=λ(b?с)с=(b?с)λс=(b?с)a

若a與с不共線,則(a?b)с≠(b?с)a.

評述:這一類型題,要求學(xué)生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律.

例6 已知|a|=3,|b|=6,當(dāng)①a∥b,②a⊥b,③a與b的夾角是60°時,分別求a?b.

解:①當(dāng)a∥b時,若a與b同向,則它們的夾角θ=0°,

∴a?b=|a|?|b|cos0°=3×6×1=18;

若a與b反向,則它們的夾角θ=180°,

∴a?b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;

②當(dāng)a⊥b時,它們的夾角θ=90°,

∴a?b=0;

③當(dāng)a與b的夾角是60°時,有

a?b=|a||b|cos60°=3×6× =

評述:兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān),其范圍是[0°,180°],因此,當(dāng)a∥b時,有0°或180°兩種可能.

平面向量總結(jié)(四篇)

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