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【第1篇 2023高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一.知識(shí)歸納:
1.集合的有關(guān)概念。
1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素
注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互異性(若a?a,b?a,則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。
③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件
2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類:有限集,無(wú)限集,空集。
4)常用數(shù)集:n,z,q,r,n_
2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。
1)子集:若對(duì)_∈a都有_∈b,則a b(或a b);
2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ,且 )
3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)補(bǔ)集:cua={_| _ a但_∈u}
注意:①? a,若a≠?,則? a ;
②若 , ,則 ;
③若 且 ,則a=b(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào),特別要注意以下的符號(hào):(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。
4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的個(gè)數(shù):設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n,則a有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)非空子集,2n-2個(gè)非空真子集。
二.例題講解:
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},則m,n,p滿足關(guān)系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一:對(duì)于集合m:{_|_= ,m∈z};對(duì)于集合n:{_|_= ,n∈z}
對(duì)于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以m n=p,故選b。
分析二:簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以選b。
點(diǎn)評(píng):由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題,因此提倡思路一,但思路二易人手。
變式:設(shè)集合 , ,則( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
當(dāng) 時(shí),2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選b
例2定義集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},則a_b的子集個(gè)數(shù)為
a)1 b)2 c)3 d)4
分析:確定集合a_b子集的個(gè)數(shù),首先要確定元素的個(gè)數(shù),然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。
解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有兩個(gè)元素,故a_b的子集共有22個(gè)。選d。
變式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,則6?a∈m,那么集合m的個(gè)數(shù)為
a)5個(gè) b)6個(gè) c)7個(gè) d)8個(gè)
變式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解:由已知,集合中必須含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評(píng)析 本題集合a的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù),所以共有 個(gè) .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。
解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1,
∴ ∴
變式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求實(shí)數(shù)b,c,m的值.
解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1
分析:先化簡(jiǎn)集合a,然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b,哪些元素不屬于b。
解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。
綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
變式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
點(diǎn)評(píng):在解有關(guān)不等式解集一類集合問(wèn)題,應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法,作出數(shù)軸來(lái)解之。
變式2:設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有滿足條件的a的集合。
解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①當(dāng) 時(shí),a_-1=0無(wú)解,∴a=0 ②
綜①②得:所求集合為{-1,0, }
例5已知集合 ,函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域?yàn)閝,若p∩q≠φ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析:先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用參數(shù)分離求解。
解答:(1)若 , 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時(shí),
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式:若關(guān)于_的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解答:
點(diǎn)評(píng):解決含參數(shù)問(wèn)題的題目,一般要進(jìn)行分類討論,但并不是所有的問(wèn)題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類問(wèn)題的關(guān)鍵。 三.隨堂演練
選擇題
1. 下列八個(gè)關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個(gè)數(shù)
(a)4 (b)5 (c)6 (d)7
2.集合{1,2,3}的真子集共有
(a)5個(gè) (b)6個(gè) (c)7個(gè) (d)8個(gè)
3.集合a={_ } b={ } c={ }又 則有
(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個(gè)
4.設(shè)a、b是全集u的兩個(gè)子集,且a b,則下列式子成立的是
(a)cua cub (b)cua cub=u
(c)a cub= (d)cua b=
5.已知集合a={ }, b={ }則a =
(a)r (b){ }
(c){ } (d){ }
6.下列語(yǔ)句:(1)0與{0}表示同一個(gè)集合; (2)由1,2,3組成的集合可表示為
{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正確的是
(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)
(c)只有(2) (d)以上語(yǔ)句都不對(duì)
7.設(shè)s、t是兩個(gè)非空集合,且s t,t s,令_=s 那么s∪_=
(a)_ (b)t (c)φ (d)s
8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ,則不等式a_2+b_+c 0的解集為
(a)r (b) (c){ } (d){ }
填空題
9.在直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b,則_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r,則a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個(gè)負(fù)根,則k的取值范圍是
13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。
14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負(fù)奇數(shù)},若a (cub)={3,7,15},(cua) b={13,17,19},又(cua) (cub)= ,則a b=
解答題
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3},求實(shí)數(shù)a。
16(12分)設(shè)a= , b= ,
其中_ r,如果a b=b,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
四.習(xí)題答案
選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空題
9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示:a={0,-4},又a b=b,所以b a
(ⅰ)b= 時(shí), 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}時(shí), 0 得a=-1
(ⅲ)b={0,-4}, 解得a=1
綜上所述實(shí)數(shù)a=1 或a -1
【第2篇 高一數(shù)學(xué)集合與函數(shù)概念知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
集合
集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。這里的“事物”可以是人,物品,也可以是數(shù)學(xué)元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:緊急~。2、數(shù)學(xué)名詞。一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素:有理數(shù)的~。3、口號(hào)等等。集合在數(shù)學(xué)概念中有好多概念,如集合論:集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念,專門研究集合的理論叫做集合論。康托(cantor,g.f.p.,1845年—1918年,德國(guó)數(shù)學(xué)家先驅(qū),是集合論的,目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。
集合,在數(shù)學(xué)上是一個(gè)基礎(chǔ)概念。什么叫基礎(chǔ)概念?基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念,可通過(guò)直觀、公理的方法來(lái)下“定義”。集合
集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對(duì)象匯合在一起,使之成為一個(gè)整體(或稱為單體),這一整體就是集合。組成一集合的那些對(duì)象稱為這一集合的元素(或簡(jiǎn)稱為元)。
元素與集合的關(guān)系
元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。
集合與集合之間的關(guān)系
某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合集合符號(hào),含有有限個(gè)元素叫有限集,含有無(wú)限個(gè)元素叫無(wú)限集,空集是不含任何元素的集,記做φ??占侨魏渭系淖蛹?,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有傳遞性。『說(shuō)明一下:如果集合a的所有元素同時(shí)都是集合b的元素,則a稱作是b的子集,寫作a?b。若a是b的子集,且a不等于b,則a稱作是b的真子集,一般寫作a?b。中學(xué)教材課本里將?符號(hào)下加了一個(gè)≠符號(hào)(如右圖),不要混淆,考試時(shí)還是要以課本為準(zhǔn)。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
集合的幾種運(yùn)算法則
并集:以屬于a或?qū)儆赽的元素為元素的集合稱為a與b的并(集),記作a∪b(或b∪a),讀作“a并b”(或“b并a”),即a∪b={_|_∈a,或_∈b}交集:以屬于a且屬于b的元差集表示
素為元素的集合稱為a與b的交(集),記作a∩b(或b∩a),讀作“a交b”(或“b交a”),即a∩b={_|_∈a,且_∈b}例如,全集u={1,2,3,4,5}a={1,3,5}b={1,2,5}。那么因?yàn)閍和b中都有1,5,所以a∩b={1,5}。再來(lái)看看,他們兩個(gè)中含有1,2,3,5這些個(gè)元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。那么說(shuō)a∪b={1,2,3,5}。圖中的陰影部分就是a∩b。有趣的是;例如在1到105中不是3,5,7的整倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)。結(jié)果是3,5,7每項(xiàng)減集合
1再相乘。48個(gè)。對(duì)稱差集:設(shè)a,b為集合,a與b的對(duì)稱差集a?b定義為:a?b=(a-b)∪(b-a)例如:a={a,b,c},b={b,d},則a?b={a,c,d}對(duì)稱差運(yùn)算的另一種定義是:a?b=(a∪b)-(a∩b)無(wú)限集:定義:集合里含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集有限集:令n_是正整數(shù)的全體,且n_n={1,2,3,……,n},如果存在一個(gè)正整數(shù)n,使得集合a與n_n一一對(duì)應(yīng),那么a叫做有限集合。差:以屬于a而不屬于b的元素為元素的集合稱為a與b的差(集)。記作:ab={_│_∈a,_不屬于b}。注:空集包含于任何集合,但不能說(shuō)“空集屬于任何集合”.補(bǔ)集:是從差集中引出的概念,指屬于全集u不屬于集合a的元素組成的集合稱為集合a的補(bǔ)集,記作cua,即cua={_|_∈u,且_不屬于a}空集也被認(rèn)為是有限集合。例如,全集u={1,2,3,4,5}而a={1,2,5}那么全集有而a中沒(méi)有的3,4就是cua,是a的補(bǔ)集。cua={3,4}。在信息技術(shù)當(dāng)中,常常把cua寫成~a。
集合元素的性質(zhì)
1.確定性:每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素,沒(méi)有確定性就不能成為集合,例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。這個(gè)性質(zhì)主要用于判斷一個(gè)集合是否能形成集合。2.獨(dú)立性:集合中的元素的個(gè)數(shù)、集合本身的個(gè)數(shù)必須為自然數(shù)。3.互異性:集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象。如寫成{1,1,2},等同于{1,2}?;ギ愋允辜现械脑厥菦](méi)有重復(fù),兩個(gè)相同的對(duì)象在同一個(gè)集合中時(shí),只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素。4.無(wú)序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一個(gè)集合。5.純粹性:所謂集合的純粹性,用個(gè)例子來(lái)表示。集合a={_|_<2},集合a中所有的元素都要符合_<2,這就是集合純粹性。6.完備性:仍用上面的例子,所有符合_<2的數(shù)都在集合a中,這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應(yīng)的。
集合有以下性質(zhì)
若a包含于b,則a∩b=a,a∪b=b
集合的表示方法
集合常用大寫拉丁字母來(lái)表示,如:a,b,c…而對(duì)于集合中的元素則用小寫的拉丁字母來(lái)表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相當(dāng)于集合的名字,沒(méi)有任何實(shí)際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個(gè)等式來(lái)表示的,例如:a={…}的形式。等號(hào)左邊是大寫的拉丁字母,右邊花括號(hào)括起來(lái)的,括號(hào)內(nèi)部是具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素。
常用的有列舉法和描述法。1.列舉法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列舉出來(lái)﹐寫在大括號(hào)內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1,2,3,……}2.描述法﹕常用于表示無(wú)限集合,把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號(hào)或式子等描述出來(lái)﹐寫在大括號(hào)內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{_|p}(_為該集合的元素的一般形式,p為這個(gè)集合的元素的共同屬性)如:小于π的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為:{_|0<π}3.圖示法(venn圖)﹕為了形象表示集合,我們常常畫一條封閉的曲線(或者說(shuō)圓圈),用它的內(nèi)部表示一個(gè)集合。集合
4.自然語(yǔ)言常用數(shù)集的符號(hào):(1)全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集),記作n;不包括0的自然數(shù)集合,記作n_(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集,也稱正整數(shù)集,記作z+;負(fù)整數(shù)集內(nèi)也排除0的集,稱負(fù)整數(shù)集,記作z-(3)全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集,記作z(4)全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱有理數(shù)集,記作q。q={p/q|p∈z,q∈n,且p,q互質(zhì)}(正負(fù)有理數(shù)集合分別記作q+q-)(5)全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集,記作r(正實(shí)數(shù)集合記作r+;負(fù)實(shí)數(shù)記作r-)(6)復(fù)數(shù)集合計(jì)作c集合的運(yùn)算:集合交換律a∩b=b∩aa∪b=b∪a集合結(jié)合律(a∩b)∩c=a∩(b∩c)(a∪b)∪c=a∪(b∪c)集合分配律a∩(b∪c)=(a∩b)∪(a∩c)a∪(b∩c)=(a∪b)∩(a∪c)集合德.摩根律集合
cu(a∩b)=cua∪cubcu(a∪b)=cua∩cub集合“容斥原理”在研究集合時(shí),會(huì)遇到有關(guān)集合中的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題,我們把有限集合a的元素個(gè)數(shù)記為card(a)。例如a={a,b,c},則card(a)=3card(a∪b)=card(a)+card(b)-card(a∩b)card(a∪b∪c)=card(a)+card(b)+card(c)-card(a∩b)-card(b∩c)-card(c∩a)+card(a∩b∩c)1885年德國(guó)數(shù)學(xué)家,集合論創(chuàng)始人康托爾談到集合一詞,列舉法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律a∪(a∩b)=aa∩(a∪b)=a集合求補(bǔ)律a∪cua=ua∩cua=φ設(shè)a為集合,把a(bǔ)的全部子集構(gòu)成的集合叫做a的冪集德摩根律a-(buc)=(a-b)∩(a-c)a-(b∩c)=(a-b)u(a-c)~(buc)=~b∩~c~(b∩c)=~bu~c~φ=e~e=φ特殊集合的表示復(fù)數(shù)集c實(shí)數(shù)集r正實(shí)數(shù)集r+負(fù)實(shí)數(shù)集r-整數(shù)集z正整數(shù)集z+負(fù)整數(shù)集z-有理數(shù)集q正有理數(shù)集q+負(fù)有理數(shù)集q-不含0的有理數(shù)集q_
【第3篇 2023高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納
高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一.知識(shí)歸納:
1.集合的有關(guān)概念。
1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素
注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互異性(若a?a,b?a,則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。
③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件
2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類:有限集,無(wú)限集,空集。
4)常用數(shù)集:n,z,q,r,n_
2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。
1)子集:若對(duì)_∈a都有_∈b,則a b(或a b);
2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ,且 )
3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)補(bǔ)集:cua={_| _ a但_∈u}
注意:①? a,若a≠?,則? a ;
②若 , ,則 ;
③若 且 ,則a=b(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào),特別要注意以下的符號(hào):(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。
4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的個(gè)數(shù):設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n,則a有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)非空子集,2n-2個(gè)非空真子集。
二.例題講解:
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},則m,n,p滿足關(guān)系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一:對(duì)于集合m:{_|_= ,m∈z};對(duì)于集合n:{_|_= ,n∈z}
對(duì)于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以m n=p,故選b。
分析二:簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以選b。
點(diǎn)評(píng):由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題,因此提倡思路一,但思路二易人手。
變式:設(shè)集合 , ,則( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
當(dāng) 時(shí),2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選b
【第4篇 2023年高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一.知識(shí)歸納:
1.集合的有關(guān)概念。
1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素
注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互異性(若a?a,b?a,則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。
③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件
2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類:有限集,無(wú)限集,空集。
4)常用數(shù)集:n,z,q,r,n_
2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。
1)子集:若對(duì)_∈a都有_∈b,則a b(或a b);
2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ,且 )
3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)補(bǔ)集:cua={_| _ a但_∈u}
注意:①? a,若a≠?,則? a ;
②若 , ,則 ;
③若 且 ,則a=b(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào),特別要注意以下的符號(hào):(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。
4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的個(gè)數(shù):設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n,則a有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)非空子集,2n-2個(gè)非空真子集。
二.例題講解:
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},則m,n,p滿足關(guān)系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一:對(duì)于集合m:{_|_= ,m∈z};對(duì)于集合n:{_|_= ,n∈z}
對(duì)于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以m n=p,故選b。
分析二:簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以選b。
點(diǎn)評(píng):由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題,因此提倡思路一,但思路二易人手。
變式:設(shè)集合 , ,則( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
當(dāng) 時(shí),2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選b
例2定義集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},則a_b的子集個(gè)數(shù)為
a)1 b)2 c)3 d)4
分析:確定集合a_b子集的個(gè)數(shù),首先要確定元素的個(gè)數(shù),然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。
解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有兩個(gè)元素,故a_b的子集共有22個(gè)。選d。
變式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,則6?a∈m,那么集合m的個(gè)數(shù)為
a)5個(gè) b)6個(gè) c)7個(gè) d)8個(gè)
變式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解:由已知,集合中必須含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評(píng)析 本題集合a的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù),所以共有 個(gè) .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。
解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1,
∴ ∴
變式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求實(shí)數(shù)b,c,m的值.
解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1
分析:先化簡(jiǎn)集合a,然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b,哪些元素不屬于b。
解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。
綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
變式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
點(diǎn)評(píng):在解有關(guān)不等式解集一類集合問(wèn)題,應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法,作出數(shù)軸來(lái)解之。
變式2:設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有滿足條件的a的集合。
解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①當(dāng) 時(shí),a_-1=0無(wú)解,∴a=0 ②
綜①②得:所求集合為{-1,0, }
例5已知集合 ,函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域?yàn)閝,若p∩q≠φ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析:先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用參數(shù)分離求解。
解答:(1)若 , 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時(shí),
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式:若關(guān)于_的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解答:
點(diǎn)評(píng):解決含參數(shù)問(wèn)題的題目,一般要進(jìn)行分類討論,但并不是所有的問(wèn)題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類問(wèn)題的關(guān)鍵。
三.隨堂演練
選擇題
1. 下列八個(gè)關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個(gè)數(shù)
(a)4 (b)5 (c)6 (d)7
2.集合{1,2,3}的真子集共有
(a)5個(gè) (b)6個(gè) (c)7個(gè) (d)8個(gè)
3.集合a={_ } b={ } c={ }又 則有
(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個(gè)
4.設(shè)a、b是全集u的兩個(gè)子集,且a b,則下列式子成立的是
(a)cua cub (b)cua cub=u
(c)a cub= (d)cua b=
5.已知集合a={ }, b={ }則a =
(a)r (b){ }
(c){ } (d){ }
6.下列語(yǔ)句:(1)0與{0}表示同一個(gè)集合; (2)由1,2,3組成的集合可表示為
{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正確的是
(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)
(c)只有(2) (d)以上語(yǔ)句都不對(duì)
7.設(shè)s、t是兩個(gè)非空集合,且s t,t s,令_=s 那么s∪_=
(a)_ (b)t (c)φ (d)s
8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ,則不等式a_2+b_+c 0的解集為
(a)r (b) (c){ } (d){ }
填空題
9.在直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b,則_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r,則a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個(gè)負(fù)根,則k的取值范圍是
13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。
14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負(fù)奇數(shù)},若a (cub)={3,7,15},(cua) b={13,17,19},又(cua) (cub)= ,則a b=
解答題
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3},求實(shí)數(shù)a。
16(12分)設(shè)a= , b= ,
其中_ r,如果a b=b,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
四.習(xí)題答案
選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空題
9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示:a={0,-4},又a b=b,所以b a
(?。゜= 時(shí), 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}時(shí), 0 得a=-1
(ⅲ)b={0,-4}, 解得a=1
綜上所述實(shí)數(shù)a=1 或a -1
【第5篇 高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一.知識(shí)歸納:
1.集合的有關(guān)概念。
1)集合(集):某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對(duì)象叫元素
注意:①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念,教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的,這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互異性(若a?a,b?a,則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。
③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號(hào)條件
2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類:有限集,無(wú)限集,空集。
4)常用數(shù)集:n,z,q,r,n_
2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。
1)子集:若對(duì)_∈a都有_∈b,則a b(或a b);
2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ,且 )
3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)補(bǔ)集:cua={_| _ a但_∈u}
注意:①? a,若a≠?,則? a ;
②若 , ,則 ;
③若 且 ,則a=b(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào),特別要注意以下的符號(hào):(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。
4.有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的個(gè)數(shù):設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n,則a有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)非空子集,2n-2個(gè)非空真子集。
二.例題講解:
【例1】已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},則m,n,p滿足關(guān)系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一:對(duì)于集合m:{_|_= ,m∈z};對(duì)于集合n:{_|_= ,n∈z}
對(duì)于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以m n=p,故選b。
分析二:簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以選b。
點(diǎn)評(píng):由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題,因此提倡思路一,但思路二易人手。
變式:設(shè)集合 , ,則( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
當(dāng) 時(shí),2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選b
【例2】定義集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},則a_b的子集個(gè)數(shù)為
a)1 b)2 c)3 d)4
分析:確定集合a_b子集的個(gè)數(shù),首先要確定元素的個(gè)數(shù),然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。
解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有兩個(gè)元素,故a_b的子集共有22個(gè)。選d。
變式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,則6?a∈m,那么集合m的個(gè)數(shù)為
a)5個(gè) b)6個(gè) c)7個(gè) d)8個(gè)
變式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解:由已知,集合中必須含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評(píng)析 本題集合a的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù),所以共有 個(gè) .
【例3】已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。
解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1,
∴ ∴
變式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求實(shí)數(shù)b,c,m的值.
解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1
分析:先化簡(jiǎn)集合a,然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b,哪些元素不屬于b。
解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。
綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
變式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
點(diǎn)評(píng):在解有關(guān)不等式解集一類集合問(wèn)題,應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法,作出數(shù)軸來(lái)解之。
變式2:設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有滿足條件的a的集合。
解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①當(dāng) 時(shí),a_-1=0無(wú)解,∴a=0 ②
綜①②得:所求集合為{-1,0, }
【例5】已知集合 ,函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域?yàn)閝,若p∩q≠φ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析:先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用參數(shù)分離求解。
解答:(1)若 , 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時(shí),
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式:若關(guān)于_的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解答:
點(diǎn)評(píng):解決含參數(shù)問(wèn)題的題目,一般要進(jìn)行分類討論,但并不是所有的問(wèn)題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類問(wèn)題的關(guān)鍵。
三.隨堂演練
選擇題
1. 下列八個(gè)關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個(gè)數(shù)
(a)4 (b)5 (c)6 (d)7
2.集合{1,2,3}的真子集共有
(a)5個(gè) (b)6個(gè) (c)7個(gè) (d)8個(gè)
3.集合a={_ } b={ } c={ }又 則有
(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個(gè)
4.設(shè)a、b是全集u的兩個(gè)子集,且a b,則下列式子成立的是
(a)cua cub (b)cua cub=u
(c)a cub= (d)cua b=
5.已知集合a={ }, b={ }則a =
(a)r (b){ }
(c){ } (d){ }
6.下列語(yǔ)句:(1)0與{0}表示同一個(gè)集合; (2)由1,2,3組成的集合可表示為
{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正確的是
(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)
(c)只有(2) (d)以上語(yǔ)句都不對(duì)
7.設(shè)s、t是兩個(gè)非空集合,且s t,t s,令_=s 那么s∪_=
(a)_ (b)t (c)φ (d)s
8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ,則不等式a_2+b_+c 0的解集為
(a)r (b) (c){ } (d){ }
填空題
9.在直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b,則_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r,則a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個(gè)負(fù)根,則k的取值范圍是
13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。
14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負(fù)奇數(shù)},若a (cub)={3,7,15},(cua) b={13,17,19},又(cua) (cub)= ,則a b=
解答題
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3},求實(shí)數(shù)a。
16(12分)設(shè)a= , b= ,
其中_ r,如果a b=b,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
四.習(xí)題答案
選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空題
9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示:a={0,-4},又a b=b,所以b a
(ⅰ)b= 時(shí), 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}時(shí), 0 得a=-1
(ⅲ)b={0,-4}, 解得a=1
綜上所述實(shí)數(shù)a=1 或a -1