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第1篇人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第2篇高一數(shù)學(xué)必修二基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第3篇高一數(shù)學(xué)必修二各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第4篇2023年高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第5篇2023高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第6篇高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié):立體幾何 第7篇高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié) 第8篇高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全 第9篇高一數(shù)學(xué)必修二公式總結(jié)
【第1篇 人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語(yǔ)青春是一場(chǎng)遠(yuǎn)行,回不去了。青春是一場(chǎng)相逢,忘不掉了。但青春卻留給我們最寶貴的友情。友情其實(shí)很簡(jiǎn)單,只要那么一聲簡(jiǎn)短的問(wèn)候、一句輕輕的諒解、一份淡淡的惦記,就足矣。當(dāng)我們?cè)诋厴I(yè)季痛哭流涕地說(shuō)出再見(jiàn)之后,請(qǐng)不要讓再見(jiàn)成了再也不見(jiàn)。這篇《人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》是高一頻道為你整理的,希望你喜歡!
空間兩條直線只有三種位置關(guān)系:平行、相交、異面
1、按是否共面可分為兩類:
(1)共面:平行、相交
(2)異面:
異面直線的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理:用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角:范圍為(0°,90°)esp.空間向量法
兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法
2、若從有無(wú)公共點(diǎn)的角度看可分為兩類:
(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線;(2)沒(méi)有公共點(diǎn)——平行或異面
直線和平面的位置關(guān)系:
直線和平面只有三種位置關(guān)系:在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行
①直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。
空間向量法(找平面的法向量)
規(guī)定:a、直線與平面垂直時(shí),所成的角為直角,b、直線與平面平行或在平面內(nèi),所成的角為0°角
由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°,90°]
最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直
直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面。
直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)
直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。
多面體
1、棱柱
棱柱的定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每?jī)蓚€(gè)四邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫做棱柱。
棱柱的性質(zhì)
(1)側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形
(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形
(3)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對(duì)角面)是平行四邊形
2、棱錐
棱錐的定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐
棱錐的性質(zhì):
(1)側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形
(2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方
3、正棱錐
正棱錐的定義:如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的性質(zhì):
(1)各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。
(3)多個(gè)特殊的直角三角形
a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對(duì)異面直線,若有兩對(duì)互相垂直,則可得第三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
兩個(gè)平面的位置關(guān)系
(1)兩個(gè)平面互相平行的定義:空間兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)
(2)兩個(gè)平面的位置關(guān)系:
兩個(gè)平面平行-----沒(méi)有公共點(diǎn);兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線。
a、平行
兩個(gè)平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行。
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么交線平行。b、相交
二面角
(1)半平面:平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分,其中每一個(gè)部分叫做半平面。
(2)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°,180°]
(3)二面角的棱:這一條直線叫做二面角的棱。
(4)二面角的面:這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。
兩平面垂直
兩平面垂直的定義:兩平面相交,如果所成的角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。記為⊥
兩平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直
兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法(注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系)。
【第2篇 高一數(shù)學(xué)必修二基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱:
定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱
幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐
幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺(tái):
定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)
(4)圓柱:
定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。
(5)圓錐:
定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。
(6)圓臺(tái):
定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。
(7)球體:
定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫(huà)法
斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn):①原來(lái)與_軸平行的線段仍然與_平行且長(zhǎng)度不變;②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。
【第3篇 高一數(shù)學(xué)必修二各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語(yǔ)如果把高中三年去挑戰(zhàn)高考看作一次越野長(zhǎng)跑的話,那么高中二年級(jí)是這個(gè)長(zhǎng)跑的中段。與起點(diǎn)相比,它少了許多的鼓勵(lì)、期待,與終點(diǎn)相比,它少了許多的掌聲、加油聲。它是孤身奮斗的階段,是一個(gè)耐力、意志、自控力比拚的階段。但它同時(shí)是一個(gè)厚實(shí)莊重的階段,這個(gè)時(shí)期形成的優(yōu)勢(shì)有實(shí)力。高二頻道為你整理了《高一數(shù)學(xué)必修二各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》,學(xué)習(xí)路上,為你加油!
第一章空間幾何體
1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)
1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖
閱讀與思考畫(huà)法幾何與蒙日
1.3空間幾何體的表面積與體積
探究與發(fā)現(xiàn)祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積
實(shí)習(xí)作業(yè)
小結(jié)
復(fù)習(xí)參考題
第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
閱讀與思考?xì)W幾里得《原本》與公理化方法
小結(jié)
復(fù)習(xí)參考題
第三章直線與方程
3.1直線的傾斜角與斜率
探究與發(fā)現(xiàn)魔術(shù)師的地毯
3.2直線的方程
3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式
閱讀與思考笛卡兒與解析幾何
小結(jié)
復(fù)習(xí)參考題
第四章圓與方程
4.1圓的方程
閱讀與思考坐標(biāo)法與機(jī)器證明
4.2直線、圓的位置關(guān)系
4.3空間直角坐標(biāo)系
信息技術(shù)應(yīng)用用《幾何畫(huà)板》探究點(diǎn)的軌跡:圓
小結(jié)
復(fù)習(xí)參考題
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
一、定義與定義式:
自變量_和因變量y有如下關(guān)系:
y=k_+b
則此時(shí)稱y是_的一次函數(shù)。
特別地,當(dāng)b=0時(shí),y是_的正比例函數(shù)。
即:y=k_(k為常數(shù),k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì):
1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的_的變化值成正比例,比值為k
即:y=k_+b(k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù))
2.當(dāng)_=0時(shí),b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):
1.作法與圖形:通過(guò)如下3個(gè)步驟
(1)列表;
(2)描點(diǎn);
(3)連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn),并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與_軸和y軸的交點(diǎn))
2.性質(zhì):(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)p(_,y),都滿足等式:y=k_+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0,b),與_軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。
3.k,b與函數(shù)圖像所在象限:
當(dāng)k>0時(shí),直線必通過(guò)一、三象限,y隨_的增大而增大;
當(dāng)k<0時(shí),直線必通過(guò)二、四象限,y隨_的增大而減小。
當(dāng)b>0時(shí),直線必通過(guò)一、二象限;
當(dāng)b=0時(shí),直線通過(guò)原點(diǎn)
當(dāng)b<0時(shí),直線必通過(guò)三、四象限。
特別地,當(dāng)b=o時(shí),直線通過(guò)原點(diǎn)o(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時(shí),當(dāng)k>0時(shí),直線只通過(guò)一、三象限;當(dāng)k<0時(shí),直線只通過(guò)二、四象限。
四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式:
已知點(diǎn)a(_1,y1);b(_2,y2),請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn)a、b的一次函數(shù)的表達(dá)式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=k_+b。
(2)因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)p(_,y),都滿足等式y(tǒng)=k_+b。所以可以列出2個(gè)方程:y1=k_1+b……①和y2=k_2+b……②
(3)解這個(gè)二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用:
1.當(dāng)時(shí)間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定,水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量s。g=s-ft。
六、常用公式:(不全,希望有人補(bǔ)充)
1.求函數(shù)圖像的k值:(y1-y2)/(_1-_2)
2.求與_軸平行線段的中點(diǎn):|_1-_2|/2
3.求與y軸平行線段的中點(diǎn):|y1-y2|/2
4.求任意線段的長(zhǎng):√(_1-_2)^2+(y1-y2)^2(注:根號(hào)下(_1-_2)與(y1-y2)的平方和)
【第4篇 2023年高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、直線與方程
(1)直線的傾斜角
定義:_軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與_軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180° (2)直線的斜率
①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
當(dāng)???0?,90??時(shí),k?0; 當(dāng)???90?,180??時(shí),k?0; 當(dāng)??90?時(shí),k不存在。
y?y1
(_1?_2) ②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式:k?2
_2?_1注意下面四點(diǎn):(1)當(dāng)_1?_2時(shí),公式右邊無(wú)意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°; (2)k與p1、p2的順序無(wú)關(guān);(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。 (3)直線方程
①點(diǎn)斜式:y?y1?k(_?_1)直線斜率k,且過(guò)點(diǎn)?_1,y1?
注意:當(dāng)直線的斜率為0°時(shí),k=0,直線的方程是y=y1。
當(dāng)直線的斜率為90°時(shí),直線的斜率不存在,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于_1,所以它的方程是_=_1。
②斜截式:y?k_?b,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b ③兩點(diǎn)式:④截矩式:
y?y1y2?y1
_a?y
?
_?_1_2?_1
(_1?_2,y1?y2)直線兩點(diǎn)?_1,y1?,?_2,y2?
?1 b
其中直線l與_軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與_軸、y軸的截距分別為a,b。
⑤一般式:a_?by?c?0(a,b不全為0)
1各式的適用范圍 ○2特殊的方程如: 注意:○
平行于_軸的直線:y?b(b為常數(shù)); 平行于y軸的直線:_?a(a為常數(shù)); (5)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線 (一)平行直線系
平行于已知直線a0_?b0y?c0?0(a0,b0是不全為0的常數(shù))的直線系:
a0_?b0y?c?0(c為常數(shù))
(二)過(guò)定點(diǎn)的直線系
(?。┬甭蕿閗的直線系:y?y0?k?_?_0?,直線過(guò)定點(diǎn)?_0,y0?;
(ⅱ)過(guò)兩條直線l1:a1_?b1y?c1?0,l2:a2_?b2y?c2?0的交點(diǎn)的直線系方程為
,其中直線l2不在直線系中。 ?a1_?b1y?c1????a2_?b2y?c2??0(?為參數(shù))(6)兩直線平行與垂直當(dāng)l1:y?k1_?b1,l2:y?k2_?b2時(shí), l1//l2?k1?k2,b1?b2;l1?l2?k1k2??1
注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與否。 (7)兩條直線的交點(diǎn)
l1:a1_?b1y?c1?0 l2:a2_?b2y?c2?0相交 交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組??
a1_?b1y?c1?0
的一組解。
?a2_?b2y?c2?0
方程組無(wú)解?l1//l2 ; 方程組有無(wú)數(shù)解?l1與l2重合 (8)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè)a(_1,y1),b是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn),
(_2,y2)
則|ab|?
(9)點(diǎn)到直線距離公式:一點(diǎn)p?_0,y0?到直線l1:a_?by?c?0的距離d(10)兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。
?
a_0?by0?c
a?b
2
2
二、圓的方程
1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的
半徑。
2、圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程?_?a???y?b??r2,圓心?a,b?,半徑為r;
2
2
(2)一般方程_2?y2?d_?ey?f?0 當(dāng)d?e
22
2
?4f?0時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為?
??
?
2
2
d2
,?
1e?,半徑為r??
22?
d
2
?e
2
?4f
當(dāng)d?e?4f?0時(shí),表示一個(gè)點(diǎn); 當(dāng)d?e?4f?0時(shí),方程不表示任何圖
形。
(3)求圓方程的方法: 一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出d,e,f;
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn),以此來(lái)確定圓心的位置。 3、直線與圓的位置關(guān)系:
直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況,基本上由下列兩種方法判斷:
(1)設(shè)直線l:a_?by?c?0,圓c:?_?a?2??y?b?2?r2,圓心c?a,b?到l的距離為
d?
aa?bb?ca?b
2
2
2
,則有d?r?l與c相離;d?r?l與c相切;d?r?l與c相交
2
2
(2)設(shè)直線l:a_?by?c?0,圓c:?_?a???y?b??r2,先將方程聯(lián)立消元,得到一個(gè)一元二次方程之后,令其中的判別式為?,則有
??0?l與c相離;??0?l與c相切;??0?l與c相交
2
注:如果圓心的位置在原點(diǎn),可使用公式__0?yy0?r去解直線與圓相切的問(wèn)題,其中?_0,y0?表示切點(diǎn)坐標(biāo),r表示半徑。
(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程:
22
①圓_2+y2=r,圓上一點(diǎn)為(_0,y0),則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為_(kāi)_0?yy0?r (課本命題).
2222
②圓(_-a)+(y-b)=r,圓上一點(diǎn)為(_0,y0),則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(_0-a)(_-a)+(y0-b)(y-b)= r (課本命題的推廣).4、圓與圓的位置關(guān)系:通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。 設(shè)圓c1:?_?a1?2??y?b1?2?r2,c2:?_?a2?2??y?b2?2?r2 兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。 當(dāng)d?r?r時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線四條;
當(dāng)d?r?r時(shí)兩圓外切,連心線過(guò)切點(diǎn),有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條; 當(dāng)r?r?d?r?r時(shí)兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線; 當(dāng)d?r?r時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn),只有一條公切線; 當(dāng)d?r?r時(shí),兩圓內(nèi)含; 當(dāng)d?0時(shí),為同心圓。
三、立體幾何初步
1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱:定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共
邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱abcde?a'b'c'd'e'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱
'ad
幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且
相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐p?abcde
幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到
截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺(tái):定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分 分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等
'''''
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)p?abcde
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形 ②側(cè)面是梯形 ③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn) (4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開(kāi)圖
是一個(gè)矩形。
(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何
體
'
'
'
'
'
第3 / 7頁(yè)
幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。 (6)圓臺(tái):定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分 幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。 (7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。 2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、 俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度; 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫(huà)法
斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn):①原來(lái)與_軸平行的線段仍然與_平行且長(zhǎng)度不變;
②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。
4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積
(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。
(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng),h為高,h為斜高,l為母線)
'
s直棱柱側(cè)面積
s正棱臺(tái)側(cè)面積
?12
?ch s圓柱側(cè)?2?rh s正棱錐側(cè)面積
(c1?c2)h' s圓臺(tái)側(cè)面積?(r?r)?l
?
12
ch' s圓錐側(cè)面積
??rl
s圓柱表?2?r?r?l? s圓錐表??r?r?l? s圓臺(tái)表???r2?rl?rl?r2?
(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 ??v柱?sh v圓柱?sh
v臺(tái)
?
13(s?
'
2
1
r h v錐?sh v圓錐?1?r2h
3
3
s)h v圓臺(tái)?
13
(s?
'
s)h?
13
?(r?rr?r)h
22
(4)球體的表面積和體積公式:v球4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系
=
43
?r
3
; s
球面
=4?r2
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(1)平面
① 平面的概念: a.描述性說(shuō)明; b.平面是無(wú)限伸展的;
② 平面的表示:通常用希臘字母α、β、γ表示,如平面α(通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi));
也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示,如平面bc。
③ 點(diǎn)與平面的關(guān)系:點(diǎn)a在平面?內(nèi),記作a??;點(diǎn)a不在平面?內(nèi),記作a?? 點(diǎn)與直線的關(guān)系:點(diǎn)a的直線l上,記作:a∈l; 點(diǎn)a在直線l外,記作a?l;
直線與平面的關(guān)系:直線l在平面α內(nèi),記作l?α;直線l不在平面α內(nèi),記作l?α。 (2)公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。
(即直線在平面內(nèi),或者平面經(jīng)過(guò)直線)
應(yīng)用:檢驗(yàn)桌面是否平; 判斷直線是否在平面內(nèi)
用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1:a?l,b?l,a??,b???l?? (3)公理2:經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。
推論:一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面。
公理2及其推論作用:①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ②它是證明平面重合的依據(jù) (4)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線
符號(hào):平面α和β相交,交線是a,記作α∩β=a。
符號(hào)語(yǔ)言:p?a?b?a?b?l,p?l 公理3的作用:
①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。
②它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系:交線公共點(diǎn)。 ③它可以判斷點(diǎn)在直線上,即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。 (5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行 (6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系
① 異面直線定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 ② 異面直線性質(zhì):既不平行,又不相交。
③ 異面直線判定:過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線 ④ 異面直線所成角:直線a、b是異面直線,經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o,分別引直線a’∥a,b’∥b,則把直線a’和b’所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。 說(shuō)明:(1)判定空間直線是異面直線方法:①根據(jù)異面直線的定義;②異面直線的判定定理 (2)在異面直線所成角定義中,空間一點(diǎn)o是任取的,而和點(diǎn)o的位置無(wú)關(guān)。 ②求異面直線所成角步驟:
a、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 b、證明作出的角即為所求角 c、利用三角形來(lái)求角
(7)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補(bǔ)。 (8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系
直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).
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三種位置關(guān)系的符號(hào)表示:a?α a∩α=a a∥α
(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行——沒(méi)有公共點(diǎn);α∥β
相交——有一條公共直線。α∩β=b
5、空間中的平行問(wèn)題
(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)
線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。
線線平行?線面平行
線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,
那么這條直線和交線平行。線面平行?線線平行
(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個(gè)平面平行的判定定理
(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行
(線面平行→面面平行),
(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行。 (線線平行→面面平行),
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行, 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
(1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。(面面平行→線面平行) (2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。(面面平行→線線平行) 7、空間中的垂直問(wèn)題
(1)線線、面面、線面垂直的定義 ①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。 ②線面垂直:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。
③平面和平面垂直:如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。 (2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 ①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個(gè)平面。 性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。 ②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直。 性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。
9、空間角問(wèn)題
(1)直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角:規(guī)定為0?。
②兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角。 ③兩條異面直線所成的角:過(guò)空間任意一點(diǎn)o,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線a?,b?,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
(2)直線和平面所成的角
??
①平面的平行線與平面所成的角:規(guī)定為0。 ②平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為90。 ③平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。
第6 / 7頁(yè)
在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線, 在解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息:(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線;(2)過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射.....線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直;反過(guò)來(lái),如果兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角 ④求二面角的方法
定義法:在棱上選擇有關(guān)點(diǎn),過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角 垂面法:已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角 7、空間直角坐標(biāo)系
(1)定義:如圖,obcd?d,a,b,c,是單位正方體.以a為原點(diǎn), 分別以od,oa,,ob的方向?yàn)檎较?,建立三條數(shù)軸_軸.y軸.z軸。 這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系o_yz.
1)o叫做坐標(biāo)原點(diǎn) 2)_ 軸,y軸,z軸叫做坐標(biāo)軸. 3)過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。
(2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí),可能形成的位置。大拇指指向?yàn)開(kāi)軸正方向,食指指向?yàn)閥軸正向,中指指向則為z軸正向,這樣也可以決定三軸間的相位置。
(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示:空間一點(diǎn)m的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(_,y,z)來(lái)表示,有序?qū)崝?shù)組(_,y,z) 叫做點(diǎn)m在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作m(_,y,z)(_叫做點(diǎn)m的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)m的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)m的豎坐標(biāo))
(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式:d?(_2?_1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2
【第5篇 2023高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱:
定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱
幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐
幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺(tái):
定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)
(4)圓柱:
定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。
(5)圓錐:
定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。
(6)圓臺(tái):
定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。
(7)球體:
定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫(huà)法
斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn):①原來(lái)與_軸平行的線段仍然與_平行且長(zhǎng)度不變;②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。
高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
【第6篇 高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié):立體幾何
1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱:
定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱
幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐
幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺(tái):
定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)
(4)圓柱:
定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。
(5)圓錐:
定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。
(6)圓臺(tái):
定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。
(7)球體:
定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫(huà)法
斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn):①原來(lái)與_軸平行的線段仍然與_平行且長(zhǎng)度不變;
②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。
【第7篇 高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)
導(dǎo)語(yǔ)高一新生要根據(jù)自己的條件,以及高中階段學(xué)科知識(shí)交叉多、綜合性強(qiáng),以及考查的知識(shí)和思維觸點(diǎn)廣的特點(diǎn),找尋一套行之有效的學(xué)習(xí)方法。今天為各位同學(xué)整理了《高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)》,希望對(duì)您的學(xué)習(xí)有所幫助!
高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)(一)
1.并集
(1)并集的定義
由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合稱為集合a與b的并集,記作a∪b(讀作'a并b');
(2)并集的符號(hào)表示
a∪b={_|_∈a或_∈b}.
并集定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式中'或'字的意義應(yīng)引起注意,用它連接的并列成分之間不一定是互相排斥的.
_∈a,或_∈b包括如下三種情況:
①_∈a,但_b;②_∈b,但_a;③_∈a,且_∈b.
由集合a中元素的互異性知,a與b的公共元素在a∪b中只出現(xiàn)一次,因此,a∪b是由所有至少屬于a、b兩者之一的元素組成的集合.
例如,設(shè)a={3,5,6,8},b={4,5,7,8},則a∪b={3,4,5,6,7,8},而不是{3,5,6,8,4,5,7,8}.
2.交集
利用下圖類比并集的概念引出交集的概念.
(1)交集的定義
由屬于集合a且屬于集合b的所有元素組成的集合,稱為a與b的交集,記作a∩b(讀作'a交b').
(2)交集的符號(hào)表示
a∩b={_|_∈a且_∈b}.
高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)(二)
1.函數(shù)的奇偶性
(1)若f(_)是偶函數(shù),那么f(_)=f(-_);
(2)若f(_)是奇函數(shù),0在其定義域內(nèi),則f(0)=0(可用于求參數(shù));
(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式:f(_)±f(-_)=0或(f(_)≠0);
(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡(jiǎn),再判斷其奇偶性;
(5)奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;
2.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題
(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:若已知的定義域?yàn)閇a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的定義域由不等式a≤g(_)≤b解出即可;若已知f[g(_)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(_)的定義域,相當(dāng)于_∈[a,b]時(shí),求g(_)的值域(即f(_)的定義域);研究函數(shù)的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。
(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;
3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對(duì)稱性)
(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性,即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上;
(2)證明圖像c1與c2的對(duì)稱性,即證明c1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在c2上,反之亦然;
(3)曲線c1:f(_,y)=0,關(guān)于y=_+a(y=-_+a)的對(duì)稱曲線c2的方程為f(y-a,_+a)=0(或f(-y+a,-_+a)=0);
(4)曲線c1:f(_,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線c2方程為:f(2a-_,2b-y)=0;
(5)若函數(shù)y=f(_)對(duì)_∈r時(shí),f(a+_)=f(a-_)恒成立,則y=f(_)圖像關(guān)于直線_=a對(duì)稱,高中數(shù)學(xué);
(6)函數(shù)y=f(_-a)與y=f(b-_)的圖像關(guān)于直線_=對(duì)稱;
【第8篇 高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全
導(dǎo)語(yǔ)高中數(shù)學(xué)知識(shí)比較多,高一數(shù)學(xué)必修二需要記憶的知識(shí)點(diǎn)原理也很多,做好知識(shí)點(diǎn)的整理能夠幫助同學(xué)們了解數(shù)學(xué)大體結(jié)構(gòu),更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。下面是為你推薦高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)歸納,希望能幫到你。
高一數(shù)學(xué)必修二空間兩直線的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)歸納
空間兩條直線只有三種位置關(guān)系:平行、相交、異面
1、按是否共面可分為兩類:
(1)共面:平行、相交
(2)異面:
異面直線的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理:用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角:范圍為(0°,90°)esp.空間向量法
兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法
2、若從有無(wú)公共點(diǎn)的角度看可分為兩類:
(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線;(2)沒(méi)有公共點(diǎn)——平行或異面
直線和平面的位置關(guān)系:
直線和平面只有三種位置關(guān)系:在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行
①直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。
空間向量法(找平面的法向量)
規(guī)定:a、直線與平面垂直時(shí),所成的角為直角,b、直線與平面平行或在平面內(nèi),所成的角為0°角
由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°,90°]
最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直
直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面。
直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)
直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。
高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié):多面體
1、棱柱
棱柱的定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每?jī)蓚€(gè)四邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫做棱柱。
棱柱的性質(zhì)
(1)側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形
(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形
(3)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對(duì)角面)是平行四邊形
2、棱錐
棱錐的定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐
棱錐的性質(zhì):
(1)側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形
(2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方
3、正棱錐
正棱錐的定義:如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的性質(zhì):
(1)各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。
(3)多個(gè)特殊的直角三角形
a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對(duì)異面直線,若有兩對(duì)互相垂直,則可得第三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié):兩個(gè)平面的位置關(guān)系
(1)兩個(gè)平面互相平行的定義:空間兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)
(2)兩個(gè)平面的位置關(guān)系:
兩個(gè)平面平行-----沒(méi)有公共點(diǎn);兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線。
a、平行
兩個(gè)平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行。
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么交線平行。b、相交
二面角
(1)半平面:平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分,其中每一個(gè)部分叫做半平面。
(2)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°,180°]
(3)二面角的棱:這一條直線叫做二面角的棱。
(4)二面角的面:這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。
高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié):兩平面垂直
兩平面垂直的定義:兩平面相交,如果所成的角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。記為⊥
兩平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直
兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法(注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系)。
【第9篇 高一數(shù)學(xué)必修二公式總結(jié)
公式一:
設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈z)
誘導(dǎo)公式記憶口訣
※規(guī)律總結(jié)※
上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為:
對(duì)于k·π/2±α(k∈z)的個(gè)三角函數(shù)值,
①當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),得到α的同名函數(shù)值,即函數(shù)名不改變;
②當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),得到α相應(yīng)的余函數(shù)值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
(奇變偶不變)
然后在前面加上把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。
(符號(hào)看象限)
例如:
sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4為偶數(shù),所以取sinα。
當(dāng)α是銳角時(shí),2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符號(hào)為“-”。
所以sin(2π-α)=-sinα
上述的記憶口訣是:
奇變偶不變,符號(hào)看象限。
公式右邊的符號(hào)為把α視為銳角時(shí),角k·360°+α(k∈z),-α、180°±α,360°-α
所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶
水平誘導(dǎo)名不變;符號(hào)看象限。
各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷,也可以記住口訣“一全正;二正弦;三為切;四余弦”.
這十二字口訣的意思就是說(shuō):
第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“+”;
第二象限內(nèi)只有正弦是“+”,其余全部是“-”;
第三象限內(nèi)切函數(shù)是“+”,弦函數(shù)是“-”;
第四象限內(nèi)只有余弦是“+”,其余全部是“-”.
其他三角函數(shù)知識(shí):
同角三角函數(shù)基本關(guān)系
⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
倒數(shù)關(guān)系:
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的關(guān)系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方關(guān)系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法
六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接)
構(gòu)造以'上弦、中切、下割;左正、右余、中間1'的正六邊形為模型。
(1)倒數(shù)關(guān)系:對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù);
(2)商數(shù)關(guān)系:六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。
(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此,可得商數(shù)關(guān)系式。
(3)平方關(guān)系:在帶有陰影線的三角形中,上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。
兩角和差公式
⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan(α+β)=——————
1-tanα ·tanβ
tanα-tanβ
tan(α-β)=——————
1+tanα ·tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
2tanα
tan2α=—————
1-tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴(kuò)角公式)
1-cosα
sin^2(α/2)=—————
2
1+cosα
cos^2(α/2)=—————
2
1-cosα
tan^2(α/2)=—————
1+cosα
萬(wàn)能公式
⒌萬(wàn)能公式
2tan(α/2)
sinα=——————
1+tan^2(α/2)
1-tan^2(α/2)
cosα=——————
1+tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα=——————
1-tan^2(α/2)
萬(wàn)能公式推導(dǎo)
附推導(dǎo):
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......_,
(因?yàn)閏os^2(α)+sin^2(α)=1)
再把_分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=tan2α/(1+tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。
三倍角公式
⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
3tanα-tan^3(α)
tan3α=——————
1-3tan^2(α)
三倍角公式推導(dǎo)
附推導(dǎo):
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α),得:
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα
=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^2(α)
=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))
=4cos^3(α)-3cosα
即
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
三倍角公式聯(lián)想記憶
記憶方法:諧音、聯(lián)想
正弦三倍角:3元 減 4元3角(欠債了(被減成負(fù)數(shù)),所以要“掙錢”(音似“正弦”))
余弦三倍角:4元3角 減 3元(減完之后還有“余”)
☆☆注意函數(shù)名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。
和差化積公式
⒎三角函數(shù)的和差化積公式
α+β α-β
sinα+sinβ=2sin—----·cos—---
2 2
α+β α-β
sinα-sinβ=2cos—----·sin—----
2 2
α+β α-β
cosα+cosβ=2cos—-----·cos—-----
2 2
α+β α-β
cosα-cosβ=-2sin—-----·sin—-----
2 2
積化和差公式
⒏三角函數(shù)的積化和差公式
sinα ·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα ·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα ·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα ·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化積公式推導(dǎo)
附推導(dǎo):
首先,我們知道sin(a+b)=sina_cosb+cosa_sinb,sin(a-b)=sina_cosb-cosa_sinb
我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina_cosb
所以,sina_cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把兩式相減,就得到cosa_sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa_cosb-sina_sinb,cos(a-b)=cosa_cosb+sina_sinb
所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa_cosb
所以我們就得到,cosa_cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,兩式相減我們就得到sina_sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式:
sina_cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa_sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa_cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina_sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式.
我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為_(kāi),a-b設(shè)為y,那么a=(_+y)/2,b=(_-y)/2
把a(bǔ),b分別用_,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式:
sin_+siny=2sin((_+y)/2)_cos((_-y)/2)
sin_-siny=2cos((_+y)/2)_sin((_-y)/2)
cos_+cosy=2cos((_+y)/2)_cos((_-y)/2)
cos_-cosy=-2sin((_+y)/2)_sin((_-y)/2)
向量的運(yùn)算
加法運(yùn)算
ab+bc=ac,這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個(gè)從同一點(diǎn)o出發(fā)的兩個(gè)向量oa、ob,以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb,則以o為起點(diǎn)的對(duì)角線oc就是向量oa、ob的和,這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對(duì)于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。
減法運(yùn)算
與a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
數(shù)乘運(yùn)算
實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,|λa|=|λ||a|,當(dāng)λ > 0時(shí),λa的方向和a的方向相同,當(dāng)λ < 0時(shí),λa的方向和a的方向相反,當(dāng)λ = 0時(shí),λa = 0。
設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù),那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ + μ)a = λa + μa(3)λ(a ± b) = λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。
向量的數(shù)量積
已知兩個(gè)非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作a?b,θ是a與b的夾角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。
a?b的幾何意義:數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。
兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。