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線性代數(shù)總結(jié)(三篇)

發(fā)布時(shí)間:2023-05-27 11:27:01 查看人數(shù):65

線性代數(shù)總結(jié)

【第1篇 2023年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)四大考點(diǎn)總結(jié)

在考研數(shù)學(xué)考試中關(guān)于線性代數(shù)的部分里,有關(guān)矩陣的秩、特征值與特征向量、線性方程組求解和二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定判斷這四大考點(diǎn),是大家一定要復(fù)習(xí)好的內(nèi)容。

線性代數(shù)占考研數(shù)學(xué)總分值的22%,約34分,以2個(gè)選擇題、1個(gè)填空題、2個(gè)解答題的形式出現(xiàn)。雖然線性代數(shù)的考點(diǎn)眾多,但要把這5個(gè)題目的分值完全收入囊中,則需要進(jìn)行重點(diǎn)題型重點(diǎn)突破。

?矩陣的秩

矩陣是解決線性方程組的解的有力工具,矩陣也是化簡(jiǎn)二次型的方便工具。矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容,熟悉掌握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內(nèi)容,利用其來解決實(shí)際應(yīng)用問題就變得簡(jiǎn)單易行。正因?yàn)榫仃嚴(yán)碚撛谡麄€(gè)線性代數(shù)中的重要作用,使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c(diǎn)。矩陣由那么多元素組成,每一個(gè)元素都在扮演不同的角色,其中的核心或主角是它的秩!

通過幾十年考研考試命題,命題老師對(duì)題目的形式在不斷地完善,這也要求大家深入理解概念,靈活處理理論之間的關(guān)系,能變通地解答題目。例如對(duì)矩陣秩的理解,對(duì)矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解,對(duì)矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)之間區(qū)別的理解,對(duì)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的掌握,對(duì)含參數(shù)的矩陣的處理以及反問題的解決能力等,都需要在對(duì)概念理解的基礎(chǔ)上,聯(lián)系地看問題,及時(shí)總結(jié)結(jié)論。

?矩陣的特征值與特征向量

矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對(duì)角化過程中起著決定作用,也是將二次型標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化的便捷方式,故特征值與特征向量也是考查重點(diǎn)。對(duì)于特征值與特征向量,須理清其相互關(guān)系,也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個(gè)特征值,元素均為1的列向量是其對(duì)應(yīng)的特征向量),會(huì)處理含參數(shù)的情況。

?線性方程組求解

對(duì)線性方程組的求解總是通過矩陣來處理,含參數(shù)的方程組是考查的重點(diǎn),對(duì)方程組解的結(jié)構(gòu)及有解的條件須熟悉。例如2023年第20題(數(shù)學(xué)二為22題),已知三元非齊次線性方程組存在2個(gè)不同的解,求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數(shù)!而所有信息完全隱含在'a_=b存在2個(gè)不同的解'這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解,系數(shù)矩陣降秩,行列式為0,可求得矩陣中的參數(shù);非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡(jiǎn)單了。

?二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定判斷

二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對(duì)角化緊密相連,即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運(yùn)算中節(jié)省時(shí)間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì),但畢竟這是一類特殊矩陣,判斷一個(gè)矩陣是否屬于這個(gè)特殊類,可以使用正定矩陣的幾個(gè)充要條件,例如二次型矩陣的特征值是否全大于0,順序主子式是否均大于0等,但前者更常用一些。

【第2篇 線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章、行列式

知識(shí)點(diǎn)1:行列式、逆序數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2:余子式、代數(shù)余子式

知識(shí)點(diǎn)3:行列式的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)4:行列式按一行(列)展開公式

知識(shí)點(diǎn)5:計(jì)算行列式的方法

知識(shí)點(diǎn)6:克拉默法則

第二章、矩陣

知識(shí)點(diǎn)7:矩陣的概念、線性運(yùn)算及運(yùn)算律

知識(shí)點(diǎn)8:矩陣的乘法運(yùn)算及運(yùn)算律

知識(shí)點(diǎn)9:計(jì)算方陣的冪

知識(shí)點(diǎn)10:轉(zhuǎn)置矩陣及運(yùn)算律

知識(shí)點(diǎn)11:伴隨矩陣及其性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)12:逆矩陣及運(yùn)算律

知識(shí)點(diǎn)13:矩陣可逆的判斷

知識(shí)點(diǎn)14:方陣的行列式運(yùn)算及特殊類型的矩陣的運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)15:矩陣方程的求解

知識(shí)點(diǎn)16:初等變換的概念及其應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)17:初等方陣的概念

知識(shí)點(diǎn)18:初等變換與初等方陣的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)19:等價(jià)矩陣的概念與判斷

知識(shí)點(diǎn)20:矩陣的子式與最高階非零子式

知識(shí)點(diǎn)21:矩陣的秩的概念與判斷

知識(shí)點(diǎn)22:矩陣的秩的性質(zhì)與定理

知識(shí)點(diǎn)23:分塊矩陣的概念與運(yùn)算、特殊分塊陣的運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)24:矩陣分塊在解題中的技巧舉例

第三章、向量

知識(shí)點(diǎn)25:向量的概念及運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)26:向量的線性組合與線性表示

知識(shí)點(diǎn)27:向量組之間的線性表示及等價(jià)

知識(shí)點(diǎn)28:向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念

知識(shí)點(diǎn)29:線性表示與線性相關(guān)性的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)30:線性相關(guān)性的判別法

知識(shí)點(diǎn)31:向量組的最大線性無關(guān)組和向量組的.秩的概念

知識(shí)點(diǎn)32:矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)33:求向量組的最大無關(guān)組

知識(shí)點(diǎn)34:有關(guān)向量組的定理的綜合運(yùn)用

知識(shí)點(diǎn)35:內(nèi)積的概念及性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)36:正交向量組、正交陣及其性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)37:向量組的正交規(guī)范化、施密特正交化方法

知識(shí)點(diǎn)38:向量空間(數(shù)一)

知識(shí)點(diǎn)39:基變換與過渡矩陣(數(shù)一)

知識(shí)點(diǎn)40:基變換下的坐標(biāo)變換(數(shù)一)

第四章、線性方程組

知識(shí)點(diǎn)41:齊次線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

知識(shí)點(diǎn)42:非齊次方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)

知識(shí)點(diǎn)43:非齊次線性線性方程組解的各種情形

知識(shí)點(diǎn)44:用初等行變換求解線性方程組

知識(shí)點(diǎn)45:線性方程組的公共解、同解

知識(shí)點(diǎn)46:方程組、矩陣方程與矩陣的乘法運(yùn)算的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)47:方程組、矩陣與向量之間的聯(lián)系及其解題技巧舉例

第五章、矩陣的特征值與特征向量

知識(shí)點(diǎn)48:特征值與特征向量的概念與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)49:特征值和特征向量的求解

知識(shí)點(diǎn)50:相似矩陣的概念及性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)51:矩陣的相似對(duì)角化

知識(shí)點(diǎn)52:實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化.

知識(shí)點(diǎn)53:利用相似對(duì)角化求矩陣和矩陣的冪

第六章、二次型

知識(shí)點(diǎn)54:二次型及其矩陣表示

知識(shí)點(diǎn)55:矩陣的合同

知識(shí)點(diǎn)56 : 矩陣的等價(jià)、相似與合同的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)57:二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

知識(shí)點(diǎn)58:用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

知識(shí)點(diǎn)59:用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

知識(shí)點(diǎn)60:正定二次型的概念及判斷

【第3篇 2023考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)語在決定考研后,同學(xué)們要做的事情就是了解考試科目的知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容,做到知己知彼,這樣才能夠掌握考試,取得好的成績(jī),考研數(shù)學(xué)也是如此。為大家整理了一些線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn),分享給備考的同學(xué)們。

行列式

1、行列式本質(zhì)——就是一個(gè)數(shù)

2、行列式概念、逆序數(shù)

考研:小題,無法聯(lián)系其他知識(shí)點(diǎn),當(dāng)場(chǎng)解決。

3、二階、三階行列式具體性計(jì)算

考研:不會(huì)單獨(dú)出題,常常結(jié)合伴隨矩陣、可逆矩陣考察。

4、余子式和代數(shù)余子式

考研:代數(shù)余子式的正負(fù)是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn),了解代數(shù)余子式才能學(xué)習(xí)行列式展開定理。

5、行列式展開定理

考研:核心知識(shí)點(diǎn),必考!

6、行列式性質(zhì)

考研:核心知識(shí)點(diǎn),必考!小題為主。

7、行列式計(jì)算的幾個(gè)題型

①、劃三角(正三角、倒三角)

②、各項(xiàng)均加到第一列(行)

③、逐項(xiàng)相加

④、分塊矩陣

⑤、找公因

這樣做的目的,在行/列消出一個(gè)0,方便運(yùn)用行列式展開定理。

考研:經(jīng)常運(yùn)用在找特征值中。

⑥數(shù)學(xué)歸納法

⑦范德蒙行列式

⑧代數(shù)余子式求和

⑨構(gòu)造新的代數(shù)余子式

8、抽象型行列式(矩陣行列式)

①轉(zhuǎn)置

②k倍

③可逆

③伴隨

④題型丨a+b丨;丨a+b-1丨;丨a-1+b丨型

(這部分內(nèi)容放在第二章,但屬于第一章的內(nèi)容)

考研:出小題概率非常大,抽象性行列式與行列式性質(zhì)結(jié)合考察。

矩陣

1、矩陣性質(zhì)

考研:與伴隨矩陣、可逆矩陣、初等矩陣結(jié)合考察。

2、數(shù)字型n階矩陣運(yùn)算

①方法一:秩是1

②方法二:含對(duì)角線上下三角為0的矩陣

③方法三:利用二項(xiàng)式定理,拆寫成e+b型

④方法四:利用分塊矩陣

⑤方法五:p-1ap=b;p-1app-1ap=b2

方法五涉及相似對(duì)角化知識(shí)。

方法三涉及高中知識(shí)。

考研:常見在大題出現(xiàn),是大題的第一問!看到數(shù)字型n階矩陣運(yùn)算,一定出自這5個(gè)方法。

3、伴隨矩陣

考研:伴隨矩陣常與其他知識(shí)考察,與行列式、轉(zhuǎn)置、k倍、可逆、伴隨的伴隨結(jié)合考察。

4、二階矩陣的伴隨矩陣

法則:主對(duì)角線互換、副對(duì)角線填負(fù)號(hào)。

考研:如果讓求某個(gè)二階矩陣的可逆矩陣,難點(diǎn)轉(zhuǎn)化成如何計(jì)算它的伴隨矩陣。

5、可逆矩陣兩種求法

考研:可逆矩陣可與行列式、轉(zhuǎn)置、k倍、伴隨矩陣、可逆的可逆結(jié)合考察。

6、分塊矩陣

考研:以小題出現(xiàn)

7、初等矩陣

考研:小題出現(xiàn)

8、正交矩陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣

考研:第二章先知道張什么模樣,這部分內(nèi)容在二次型、相似對(duì)角化考察。

9、秩(十個(gè)公式)

考研:把秩比作答題的第二種方法,在解決向量、方程組等相關(guān)知識(shí)點(diǎn),可以用傳統(tǒng)方法(解題速度慢),也可用秩,解題速度是傳統(tǒng)方法的5倍!但是難懂。

向量

1、幾組定義(向量?jī)?nèi)積、向量的長度、單位化、正交)

考研:考單位化,但是如果想理解線性代數(shù)本質(zhì),向量?jī)?nèi)積、向量的長度要懂。

2、線性相關(guān)、無關(guān)的三大判別方法

⑴、利用行列式

⑵、向量個(gè)數(shù)>;維度,必相關(guān)

⑶、利用秩

考研:小題出現(xiàn),很少結(jié)合其他章節(jié)知識(shí)點(diǎn)。

3、線性相關(guān)無關(guān)證明題三種思路

⑴、利用定義法

⑵、用秩

⑶、反證法

考研:大題考點(diǎn),這部分內(nèi)容可以與線性方程組結(jié)合,也可以與特征值特征向量結(jié)合,也可以與秩結(jié)合。至于如何結(jié)合,怎么結(jié)合,請(qǐng)自己歸納總結(jié)。

4、線性表出四大判別方法

⑴、利用行列式

⑵、利用秩

⑶、利用定義

⑷、利用方程組

考研:可小題、可大題,但是通是大題的某一問。

5、克拉默法則

考研:服務(wù)線性表出。

6、線性表出計(jì)算題三大思路

⑴、利用克拉默法則

⑵、構(gòu)建方程組,抓0思想

⑶、與向量組結(jié)合考等價(jià)。

考研:大題考點(diǎn)!涉及部分方程組知識(shí)和初等行變換知識(shí)。

這部分內(nèi)容涉及重要的數(shù)學(xué)思想:分類討論!!!(大題愛考)

7、線性表出證明題四個(gè)理論

考研:大題小題都有,但是近幾年小題居多。

8、極大線性無關(guān)組

考研:核心考點(diǎn)內(nèi)容和2、3知識(shí)點(diǎn)一樣,換湯不換藥

9、等價(jià)向量組

考研:小題居多,很少與其它章節(jié)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合。

線性方程組

1、基礎(chǔ)解系

(不懂就背下來,我當(dāng)時(shí)考研到10月份才茅塞頓開。)

2、齊次線性方程組與非齊次線性方程組

⑴、常規(guī)求解

⑵、解含參數(shù)的方程組

(這部分內(nèi)容最難在于化簡(jiǎn),矩陣基礎(chǔ)要牢固!!)

⑶、利用解的三個(gè)性質(zhì)

⑷、通過矩陣運(yùn)算,構(gòu)造方程組再求解

考研:大題核心考點(diǎn),歷年考題向量和方程組會(huì)出其中一道,而方程組的出題概率高于向量!原因如下

①、解題方法多。

②、能與矩陣相關(guān)知識(shí)聯(lián)系結(jié)合。

3、公共解、同解兩種題型

考研:重要考點(diǎn)題!

特征值與特征向量

1、特征值相關(guān)概念與計(jì)算

考研:必考題,這里面難點(diǎn)不在于特征值相關(guān)知識(shí),而在于求解行列式相關(guān)知識(shí)。

2、特殊特征值

⑴、上三角矩陣、下三角矩陣。

⑵、秩為1的矩陣

⑶、某個(gè)矩陣拆分后,利用⑴和⑵結(jié)合。

3、相似矩陣概念及性質(zhì)

考研:不會(huì)單獨(dú)出,但一定會(huì)結(jié)合其他題目

4、相似矩陣兩種考題

如果p-1ap=b

⑴若aλ=λa→b(p-1a)=λ(p-1a)

⑵若ba=λa→a(pa)=λ(pa)

考研:這部分內(nèi)容是內(nèi)容5的基礎(chǔ),但是如果單獨(dú)出考題,不太可能。

5、對(duì)角矩陣的相似問題

核心內(nèi)容:“搭橋”橋是λ。

考研:核心重點(diǎn)考點(diǎn)!

本內(nèi)容需要分類討論、需要基礎(chǔ)解系相關(guān)知識(shí)、又可以聯(lián)系特征值、特征向量,性質(zhì)方面也可全面考察。

6、反對(duì)稱矩陣

考研:小題

7、實(shí)對(duì)稱矩陣以及正交矩陣

考研:也是重要考點(diǎn),大部分知識(shí)和前面一樣,不同之處在于多一個(gè)史密斯正交化。

二次型

1、二次型相關(guān)概念

內(nèi)容和微分方程有異曲同工之妙,記憶的內(nèi)容比較多,但比較簡(jiǎn)單。

考研:出小題,比如填寫一個(gè)負(fù)慣性指數(shù)。

2、矩陣的等價(jià)、相似、合同

考研:出小題,一定不可能出大題的。

3、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型、正定問題

考研:核心重點(diǎn)考點(diǎn),內(nèi)容本身沒什么難度,只是把前面所有的知識(shí)綜合起來。

線性代數(shù)總結(jié)(三篇)

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